（二）極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限
2 ．單調(diào)有界準(zhǔn)則和極限
準(zhǔn)則ii 單調(diào)有界的數(shù)列（或函數(shù)）必有極限。
利用準(zhǔn)則ii，可得另一個(gè)重要極限
其中 e 是一個(gè)無(wú)理數(shù)， e =2 . 71828 … …
（三）無(wú)窮小的比較
設(shè) a 及都是在同一個(gè)自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小,且0， lim 也是在這個(gè)變化過(guò)程中的極限。
若 lim =0，就稱是比a高階的無(wú)窮小，記作=（a）；并稱a是比低階的無(wú)
窮小；
若 lim =c 0，就稱是與 a 同階的無(wú)窮小；
若 lim =1, 就稱是與 a 等階的無(wú)窮小，記作a 。
關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有以下性質(zhì)：
若,且 lim 存在，則
當(dāng) x 0時(shí)，有以下常用的等價(jià)無(wú)窮小：
（四）例題
一般地，對(duì)有理分式函數(shù)
其中p（ x ）、 q （ x ）是多項(xiàng)式， 若（x）=q（x0） 0,則
注意：若 q （ x 0） = 0 ，則關(guān)于商的極限運(yùn)算法則不能應(yīng)用，需特殊考慮。
【例1-2-2】 求
【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則。但分子、分母有公因子x-3,故
【例1-2-3】 。
【 解 】 （ x2-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故
從而
【例 l -2 -4】 求。
【 解 】 當(dāng) x 時(shí)，分子、分母都為無(wú)窮大，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則，但可先用 x3 去除分子、分母，故
【例1-2-5】 等于
（ a ） 1
（ b ） 0
（ c ）不存在且不是
（ d ）
【解】 由于=0，，按照“有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小”，故應(yīng)選（b）, 注意不要與極限=1相混淆。
【例1-2-6】 求。
【 解 】 令 x＝- t ,則當(dāng) x 時(shí)，t 。于是
【例1-2-7】 求。
【例1-2-8】 求。
【解】當(dāng) x 0 時(shí)，tan2x 2x, sin5x 5x，所以
【例1-2-9】 求。
【解】 當(dāng) x 0時(shí)，,cosx-1-,所以