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2 ．三重積分的計算法

( 1 ）利用直角坐標

 

（三）例題

1．計算，其中d是由拋物線，y² = x及直線y = x - 2 所圍成的閉區域。

【 解 】 兩曲線的交點是（ 1，- 1 ）、（ 4 , 2 ）。積分區域 d （圖 1-3-4 ）可表成

從而

 

2．計算,其中 d 是 x 軸、 y 軸和拋物線 y =1 – x²所圍成的在第一象限內的閉區域。

【 解 】拋物線y =1 – x²與 x 軸、 y 軸的交點依次為（1，0）及（0，1），積分區域 d （圖 1-3-5 ）可表成

從而

 

 

 

4．交換積分次序，二次積分

化為

［解」由所給的二次積分，可得積分區域

更換積分次序，得

故選（ b ）。

 

 

四、平面曲線積分格林公式

（一）平面曲線積分的概念與性質

1 ．對弧長的曲線積分的概念與性質

設 l 為平面內一條光滑曲線弧， f （x，y）在 l 上有界，將 l 任意劃分成n個小段，第 i 個小段的長度為，（ , ）為第 i 小段上任一點，＝ max , 若極限

總存在，則稱此極限為f（x，y）在 l 上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作 ,即

若曲線形構件 l 在點（ x , y ）處的線密度為（x， y ) ，則曲線積分( x , y ) ds 就表示此構件的質量 m ，即

當 l 為閉曲線時，曲線積分記為f ( x ,y )ds.

第一類曲線積分具有如下性質：

2 對坐標的曲線積分的概念與性質

設l為平面內從點 a 到點 b 的一條有向光滑曲線弧，p（ x ，y）、 q ( x ，y)在 l 上有界，將l任意分成 n 個有向小弧段( i =1,2,…,n; m₀= a, m_n=b ), = x_i – x_{i-1 ,}

= y_{i –} y_{i-1 .}任取（ , ），記 =max,若極限

總存在，則稱此極限為p（x，y）在有向曲線弧 l 上對坐標 x 的曲線積分，記作p(x,y) ds,即

類似地定義 q （x， y ）在有向曲線弧l上對y的曲線積分 。q( x ,y )dy ,即

對坐標的曲線積分也稱為第二類曲線積分。p (x ,y )dx +q( x, y)dy通常寫成p(x ,y )dx +q(x ,y)dy。

若某質點沿有向曲線弧 l 移動，受變力 f = (p (x ,y),q (x ,y))作用，則變力作的功為

對坐標的曲線積分具有如下性質：

其中 l^-表示與 l 反向的有向曲線弧。

其中a 、為常數。

格林公式

定理  設閉區域 d 由分段光滑的曲線 l 圍成，函數p（ x ，y）及 q （ x ，y)在 d 上具有一階連續偏導數，則有

其中 l 是 d 的取正向的邊界曲線。

上述公式稱格林公式。這一公式揭示了閉區域 d 上的二重積分與沿閉區域 d 的正向邊界曲線 l 上的曲線積分之間的聯系，利用這一聯系使得兩種積分的計算可以相互轉化。           

（四）例題

【 例 1- 3 - 22 】 計算半徑為 r 、中心角為 2a 的圓弧l 對于它的對稱軸的轉動慣量 i （線密度μ＝ 1 ）。

【解】 取圓弧的圓心為原點，對稱軸為 x 軸，并使圓弧位于y軸的右側（圖 1 一 36 ) ，則

                     

l 的參數方程為

于是

 

【 例 1- 3 - 23 】計算y²dx，其中l是半徑為 a 、圓心為原點、按逆時針方向繞行的上半圓周（圖 1 -3-7 ）。

【 解】  l 是參數方程為

當參數從 0 變到的曲線弧。因此．

               

 

五、積分的應用

（一）定積分的應用

 1 ．幾何應用

（ 1 ）平面圖形的面積

1 ）直角坐標情形

設平面圖形由曲線 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直線 x = a 、 x = b

所圍成（圖 1-3 - 8 ) ，則其面積

 

2 ）極坐標情形

設平面圖形由曲線 ＝（  )及射線＝a、＝所圍成（圖 1-3-9 ) ，則其面積

（ 2 ）體積

l ）旋轉體的體積

設旋轉體由曲線 y = f （ x ）與直線 x = a 、 x = b 及 x 軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成（圖 1-3 -10 ) ，則其體積

 

（ 3 ）平面曲線的弧長

 l ）直角坐標情形

設曲線的方程為 y = f （ x ) （ a  x  b ) , f （ x ）在 [ a ，b]上具有一階連續導數，則其弧長

2 ）參數方程情形

設曲線的參數方程為 x ＝（ t ) , y ＝（ t ) （at ）, （ t ）、（ t ）在[ a,  ]上具有連續導數，則其弧長

3 ）極坐標情形

設曲線的極坐標方程為＝（） （ a ），（  ）在［ a ，］上具有連續導數，則其弧長 s =

 

（ 2 ）水壓力

設有平面薄板，鉛直放置水中，取薄板所在平面與水平面的交線為 y 軸，x 軸鉛直向下（圖 1-3 -12 ) ，設薄板的形狀為

則薄板一側所受的水壓力為

其中  為水的密度， g 為重力加速度。

 

（二）二重積分的應用

 1 ．曲面的面積

設曲面的方程為 z = f （ x ，y)，在 x o_y面上的投影區域為 d , f （x，y）在 d 上具有一階連續偏導數，則曲面的面積

2 ．平面薄片的質量、重心及轉動慣量

設平面薄片占有 x oy面上的區域 d ，薄片在 d 上任一點 p （ x , y ）處的面密度為μ（ x , y ) ，則薄片的質量為

薄片重心的坐標為

薄片關于 x 軸、 y 軸的轉動慣量為

 

（三）例題

【 例 1 -3 -25 】   計算由兩條拋物線：y² = x 、 y ＝x²所圍成的圖形的面積。

【解 】  兩條拋物線所圍成的圖形如圖 1-3-13 所示， x 的變化區間為 [ 0 , 1] ，所求面積為

 

【例 1- 3 -26 】  計算心形線＝ a （ 1 + cos ） （ a> 0) 所圍成的圖形的面積。

【 解 】 心形線所圍成的圖形如圖 1-3 -14 所示，的變化區間為 [-,]。所求面積為

 

 

 

【例1 - 3 -29】   計算擺線 x = a（- sin ) ，y＝ a （ 1 －cos）的一拱（ 0 2）（圖 l -3-15 ）的長度。

【 解 】   的變化區間為 [0 , 2], x '（） = a （ 1 － cos ) ，y’（） = asin ，所求弧長為

【 例 1-3 – 30】  求半徑為 a 的均勻半圓薄片（面密度為常量μ）對于其直徑邊的轉動慣量。

【 解 】 取坐標系如圖1-3-16 所示，薄片所占閉區域

所求轉動慣量即半圓薄片對于 x 軸的轉動慣量

其中m =為半圓薄片的質量。