第四節 無窮級數
一、數項級數
（一）常數項級數的概念和性質
1 ．常數項級數的概念
數列 u n（ n = 1 , 2 , …）的各項依次相加的表達式稱為無窮級數，第n項un稱為級數的一般項或通項，前n項之和 sn =稱為級數的部分和。若 = s存在．則稱級數收斂，并稱級數的和為s ; 若不存在，則稱級數發散 。 當級數收斂時， rn =稱為級數的余項，有= 0 。
2 ．常數項級數的性質
（ 1 ）若 = s,則= k=ks （ k為常數)；
（ 2 ）若=s，則vn =t, 則 （unvn) =vn =s t;
（ 3 ）收斂級數加括號后所成的級數仍收斂于原來的和；
（ 4 ）在級數中改變有限項，不影響其收斂性；
（ 5 ）若級數收斂，則＝ 0；反之，不一定成立。
3 ．典型級數
（ l ）幾何級數aqn-1，當q < 1 時，收斂于，當q 1 時，級數發散；
（ 2 ） p-級數（p > 0 ) ，當p > 1 時，級數收斂，當0＜p 1 時，級數發散.
（二）常數項級數的審斂法
1 ．正項級數審斂法
若級數，其中un0 （ n=1 , 2 ， … ），則稱級數為正項級數。
（ l ）收斂準則：正項級羚收斂的充分必要條件是其部分和有界。
（ 2 ）比較審斂法：設、vn為正項級數，對某個 n > 0 ，當n＞ n 時， 0uncvn（ c > 0 為常數）。若vn收斂，則收斂；若發散，則vn發散。
比較審斂法的極限形式：若＝l（vn0 ) ，則當0＜ l ＜十 時，和vn同時收斂或同時發散。
（ 3 ）比值審斂法：設為正項級數，若 = l ，則當l < l 時，級數收斂；當 l > 1 或 l = +時，級數發散；當 l = 1 時，級數可能收斂也可能發散。
（ 4) 根值審斂法：設為正項級數，若= l,則當l < l 時，級數收斂;當 l > 1 或 l = + 時，級數發散；當 l = 1 時，級數可能收斂也可能發散。
2 ．任意項級數審斂法
若級數，其中un（n = 1 , 2 ， … ）為任意實數，則稱級數為任意項級數。若級數的各項正負交替出現，即可寫作（-1）nun（un > 0 ）或（- l ） n+ l un（un＞ 0 ） ，則稱級數為交錯級數。
若級數為任意項級數，而級數un收斂，則稱級數絕對收斂；若收斂，而un發散，則稱級數條件收斂。
（ l ）萊布尼茲判別法：若交錯級數（- l ） n u n（ u n＞ 0 ）滿足： 1 ）u n u n+1（n＝ 1 , 2 … ） ; 2 ） u n = 0 ，則級數（- 1 ）nun收斂，且有余項rn u n+1（n＝ 1 , 2, …）
（ 2 ）若任意項級數絕對收斂，則該級數收斂。
（ 3 ）設為任意項級數，若 = l （或＝ l ） ，則當l < 1 時，級數絕對收斂；當 l > 1 或 l = + 時，級數發散；當 l = 1 時，級數可能收斂也可能發散。
（三）例題
【 例 1-4- l 】 判別級數sin 的收斂性。
【解】 級數 sin 為正項級數，因為
而級數發散（p-級數，p=1的情形，，根據比較審斂法的極限形式知此級數發散 .
【 例 1 -4 - 2 】 判別級數
的收斂性。
【 解 】 所給級數為正項級數，因為
根據比值審斂法知所給級數發散。