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1- 4-3   判別級數的收斂性。

   所給級數為正項級數,因為

根據根值審斂法知所給級數收斂。

     1-4 – 4   數項級數的部分和數列有界是該級數收斂的

a )充分條件。            

b )必要條件。

c )充分必要條件。       

d )既非充分又非必要條件。

【解 按數項級數收斂的定義,級數收斂即級數的部分和數列有極限,而部分和數列有界是部分和數列有極限的必要條件,故選( b )。

注意對正項級數來說,部分和數列有界是級數收斂的充分必要條件,而對一般的非正項級數來說,部分和數列有界僅是級數收斂的必要條件,而不是充分條件。

1-4 -5】級數

的收斂性是

a )發散     

b )條件收斂     

c )絕對收斂     

d )無法判定

按萊布尼茲判別法知,級數收斂;級數 p -級數的情形,p < 1 ,故級數發散,因此應選( b )。

1-4 -6】判別級數

的收斂性。

所給級數是任意項級數,因為

而級數是收斂的(p-級數,p = 4 )。根據比較審斂法知,級數收斂,即級數絕對收斂,從而級數收斂。

 

1 - 4 -7 】判別級數的收斂性。

所給級數為任意項級數,因為

根據任意項級數審斂法( 3 )知,所給級數發散。

 

[例 1 -4 - 8 ]下列各選項正確的是

二、冪級數泰勒級數

(一)冪級數的概念和性質

1 .冪級數的概念

稱為冪級數,令,可化為

2 .冪級數的收斂性

若級數時收斂,則對適合的一切x,級數絕對收斂;若級數時發散,則對適合的一切 x ,級數發散。

3 .冪級數的收斂半徑及其求法

若冪級數在某些點收斂,在某些點發散,則必存在唯一的正數 r ,使當時,級數絕對收斂,當時,級數發散。這個 r 稱為冪級數的收斂半徑;若冪級數只在 x = 0 處收斂,則規定收斂半徑 r = 0 ;若冪級數對一切 x 都收斂,則規定收斂半徑

對冪級數

則它的收斂半徑

4 .冪級數的性質

若冪級數的收斂半徑為 r ,則稱開區間(- r , r )為冪級數的收斂區間,"

根據冪級數在 x =± r 處的收斂情況,可以決定冪級數的收斂域(即收斂點的全體)是四個區間:(- r , r )、[- r , r )、(- r , r ]、[- r , r ]之一。

冪級數具有以下性質:

l )冪級數的和函數在其收斂域上連續;

2 )冪級數的和函數在其收斂區間內可導,且有逐項求導、逐項積分公式

逐項求導、逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

(二)泰勒級數

1 .泰勒級數的概念

f x )在點 x0處具有各階導數,則冪級數稱為函數f x )在點 x0處的泰勒級數,特別當x0 = 0 時,級數稱為函數 f a )的麥克勞林級數。

2 .函數展開成泰勒級數的條件

設函數 f x)在點 x0的某鄰域 u x0)內具有各階導數,則 f x)在該鄰域內能展開成泰勒級數(即 f x )的泰勒級數收斂于 f x )本身)的充分必要條件是 f x 的泰勒公式中的余項

(其中

3 .常用函數的冪級數展開式

【例 l - 4 - 9 冪級數的收斂域是

a - 1 ,l     

b - l , 1      

c - l , l      

d - l , 1

易知級數收斂半徑 r = l ,當 x - 1 時,級數,當x = 1時,級數收斂,故應選( d )。

 

a )條件收斂  

b )絕對收斂

c )發散

d )收斂性不能確定

的結構知其收斂區間的中心為x = 1,已知 x = -1為此級數的一個收斂點,設其收斂半徑為 r ,則,而 x = 2 與收斂區間中心x 1的距離為 1 , 1 < r ,由冪級數的收斂性(阿貝爾定理)知,此級數在 x = 2 處絕對收斂,故應選( b )。

1 - 4 - 11 】利用逐項求導法求級數

的和函數。

】冪級數的和函數是

利用逐項求導公式,得

 

l - 4 – 12】將函數展開成(x 3 )的冪級數。

因為

因此

 

1 · 4 · 13 將函數

展開成 x 的冪級數。

[解]先將有理分式分解成部分分式之和: