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第六節   線性代數

 

一、n 階行列式

（一）n階行列式的定義

設有n²個數a_ij（ i = 1 , 2 ， … ，n ；j＝ 1 , 2 ,… ，n），記號

稱為n階行列式。行列式（ 1-8-1 ）也簡記作 d_n或△（a_ij）

m_ij稱為 d_n的對應于元素 a_ij 的余子式。令

a_ij稱為 d_n的對應于元素 a_ij 的代數余子式。

每個n階行列式都對應一個數，這個數稱為該行列式的值。

記號（ 1-8-1 ）既表示行列式，又表示行列式的值。

行列式的值用數學歸納法定義為

按此定義．即有

1 階行列式

2 階行列式

3 階行列式

計算 2 階和 3 階行列式的值時，有“對角線法則” :

2 階行列式時，

即把 a₁₁ 一 a ₂₂的連線稱主對角線， a₁₂ 一 a₂₁ 的連線稱次對角線。主對角線上各元素的乘積冠， “ + ”號，次對角線上各元素的乘積冠“一”號，然后作代數和，所得結果即為 2 階行列式的值。

3 階行列式時，

主對角線上各元素的乘積冠， “ + ”號，次對角線上各元素的乘積冠“一”號，然后作代數和，所得結果即為3階行列式的值。

（二）行列式的性質

2 ．互換行列式中的兩行（列），則行列式的值變號。

3 ．行列式中如果有兩行（列）的元素相同，則行列式的值為 0。

4 ．以數 k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 k 乘這個行列式。

5 . 行列式中如果有兩行（列）的元素對應成比例，則行列式的值為 0。

6 ．如果行列式中某行（列）的元素都表為兩數之和，例如第 k 行的元素都是兩數之和：

則 d 等于下列兩個行列式之和：

7 ．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變。例如以數 k 乘第 i 行加到第 j 行上，有

8 ．行列式中任一行（列）的元素與它對應的代數余子式的乘積之和等于行列式的值。

式（ 1-82 ）稱為行列式按第 i 行展開公式和按第 j 列展開公式。

9 ．行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0。即

 

（三）計算 2 階和 3 階行列式的值常用對角線法則，計算 n 階（n≥4 ）行列式的值常用下述兩種方法：

1 ．應用性質 7 ，把主對角線以下的元素全化為 0 ，成為上三角行列式

它的值等于 b₁₁b₂₂···b_nn

2 ．選定一行（列），把該行（列）除一個非零元素外其余，n-1 個元素全化為0，然后按這一行（列）展開[公式（1-8-2）]，就把行列式降為n-1階行列式。

（四）例題

 

二、矩陣

（一）矩陣概念

由 m×n個數排成 m 行，n列的數表

稱為m×n矩陣，數a_ij稱為矩陣 a 的第 i 行第j列元素

當 m = n時， a 稱為 n 階方陣；當m＝ 1 時， a 稱為行矩陣；當n = 1 時， a 稱為列矩陣。

元素全為0的矩陣稱零矩陣，記作 o 。注意不同型的零矩陣是不相等的。

 

（二）矩陣的運算

1 ．矩陣的加法設 a = ( a_ij ）與 b = ( b _ij ）是同型矩陣，矩陣 a 與 b 的和記作 a + b ，規定

矩陣相加滿足：

2 ．數乘矩陣

數乘矩陣滿足：

矩陣相加及數乘矩陣合起來，統稱為矩陣的線性運算。

矩陣相乘不滿足交換律，即一般ab≠ba。還要注意兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。例如

主對角線上的元素都是 1 ，其他元素都是 0 的方陣稱為單位陣，記作 e，階單位陣也記作 e_n。單位陣滿足：

4 ．方陣的冪設 a 為，，階方陣，規定

方陣的冪滿足：

矩陣的轉置滿足： ( a^t ) ^t = a ; ( a + b ) ^t = a^t + b^t ; （λa） ^t=λa ^t ; （ab）t = b^ta^t 。

若方陣 a = ( a _ij ）滿足 (a^t ) = a ，則稱 a 為對稱陣。對稱陣的元素按主對角線對稱相等。即 a_ij ＝a_ji。

6 ．方陣的行列式由 n 階方陣 a 的元素所構成的 n 階行列式叫做方陣 a 的行列式

記作| a|或 deta 。

|a|=0 時稱 a 為奇異（方）陣，|a|≠0 時稱 a 為非奇異（方）陣。注意長方陣沒有行列式。