上面最后一個矩陣稱為行階梯形，它的特點是每個階梯只有一行。繼續施行初等行變換，可把它化成行最簡形：
上面最后一個矩陣稱為行最簡形，它的特點是行階梯形中非零行的第一個非零元素為1，且含這些元素的列的其他元素都是零。再施行初等列變換，可把它變為標準形：
上面最后一個矩陣稱為標準形，它的特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都是零。
把矩陣化為行階梯形和行最簡形，是矩陣求秩和解線性方程組的有效手段。矩陣的許多運算都可以通過初等變換來實現。
3 ．用初等變換求逆陣
當方陣 a 可逆時，
a 可經初等行變換變為 e ，因此對n ×2n矩陣（ a | e ）施行行變換，當把 a 化為 e 時， e 就化為 a-1。
（五）矩陣的秩
定義在矩陣 a 中任取 k
行 k 列，這些行列交叉處的元素按它們在 a 中的排列所構成的行列式，稱為矩陣 a 的 k 階子式。
m ×n矩陣共有ckmckn個 k 階子式。
定義如果在矩陣 a 中有一個
r 階非零子式 dr ，而所有 r + 1 階子式全等于 0 ，那么 dr 稱為矩陣 a 的最高階非零子式，數，稱為 a 的秩，記作 r ( a ）。零矩陣沒有非零子式，規定零矩陣的秩為 0。
定理若 a ~ b ，則 r ( a ) = r ( b ）。
這一定理說明初等變換不改變矩陣的秩，因此，當把矩陣變為行階梯形，即可看出矩陣的秩，因為行階梯形的秩就等于非零行的行數。由此還可知，若 r ( a ) = r ，則 a 的標準形左上角為 r 階單位陣，矩陣的標準形由其行數 m 、列數n及秩 r 所完全確定。