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（七）平均碰撞頻率和平均自由程

     平均碰撞頻率：一個分子單位時間里受到的平均碰撞次數.

平均自由程：一個分子連續兩次碰撞之間經歷的平均自由路程.

假定每個分子都是直徑為d的小圓球，如圖1，它運動過程中，距離為2d的分子都將與之發生碰撞，經過簡單的推導，得平均碰撞頻率為

 

                              

        (1.10)

 

圖 1

n為單位體積內的氣體分子數（分子數密度）。                

平均自由程：   (1.11)

考慮到理想氣體狀態方程 平均自由程表達式常寫作以下形式         (1.12)

                                                    

當溫度t一定時，分子的平均自由程與壓強p成反比，壓強越小，則越長。

（八）麥克斯韋速率分布律

對于處在平衡態下的氣體而言，氣體中的每個分子各以不同的速度運動著。由于分子間的碰撞，他們速度的大小和方向也不斷變化。然而從大量分子的整體來看，他們的速率分布遵循著麥克斯韋速率分布律。

1、麥克斯韋速率分布函數

         (1.13)                  

物理意義：分子速率在v附近單位速率間隔內的分子數占總分子數的百分比。

注意下列

n：理想氣體系統的分子總數。

：表示速率分布在區間內的分子數。

：表示分布在此區間內的分子數占總分子數的百分比，或者其速率分布在這個區間內的概率。：分子速率在附近單位速率間隔內的分子數占總分子數的百分比，或一個分子速率分布的概率密度。

麥克斯韋應用統計概念從理論上確定了f(v)的具體形式

 

(1.14)   

圖 2

2.麥克斯韋率率分布曲線

                    

（1）           圖2中粉色小矩形面積的意義：表示分布在v₃→v₃+dv區間內的分子數占總分子數的百分比，或表示某分子速率在v₃→v₃+dv區間內的概率。

（2）           圖2中綠色區域面積的物理意義， ，它表示速率v₁→v₂區間內的分子數占總分子數的百分比。的含義，速率v₁→v₂區間內的分子數

（3）   整個曲線下面積的意義

上式表示速率在0→∞間的氣體分子總數與總分子數之比為100%，即

                                               

上式稱為歸一化條件。

（4）最可幾速率v_p

f（v）曲線極大值處所對應的速率值稱為最可幾速率。

v_p的物理意義：表示在相同的速率間隔內，氣體分子速率在v_p附近的幾率最大。

（5）t變化時，f（v）曲線如何變化

對一定量的理想氣體，不同溫度下，有不同形狀的速率分布曲線，如圖3。溫度越高，速率大的分子增多，v_p向速率增大的方向移動，曲線將拉寬。由歸一化條件可知，曲線下總面積恒等于1，于是，曲線高度降低，變得平坦。若溫度降低，則曲線極大值向左偏移，曲線變高變尖銳。  

 

圖 3

               

3、氣體分子的三種統計速率

l（1） 最概然（最可幾）速率

得：

       (1.15)                                                         

（2） 平均速率

由算數平均值定義

得                                  (1.16)

                        

將麥克斯韋速率分布函數代入積分得

                   

（3）方均根速率

同理

將分布函數f(v)代入上式積分并開方得

圖 5

圖 4

                                       

如圖4所示當同種氣體處于同一平衡態（同一溫度t）時，有，且隨溫度的增加而分別增大。當不同種氣體處于同一平衡態時，三種速率的平均值均與成反比，參照圖5。

 

小結：以上就是考試大綱中列出的，屬于氣體動理論范疇的內容。大體可以分為三部分：第一部分，描述氣體系統的宏觀量（狀態量：溫度t，壓強p）及其微觀對應，宏觀量之間的滿足的氣體狀態方程，以及與溫度，自由度相關的系統內能的表達式； 第二部分，比較獨立，描述系統內分子碰撞性質的物理量，一共兩個概念，記住其表達式即可；第三部分，分子的速率分布，及速率相關的三個統計平均值，要明確f(v)的含義。

二 相關練習

（一）歷年真題

氣體內能 由理想氣體狀態方程比較可得

 

5. 一定量剛性雙原子分子理想氣體存儲于一容器中，容器的體積為v，氣體的壓強為p，則氣體的動能為：

a、3 pv /2      （b）、5 pv /2        c、 pv /2         d、pv

選（b）

對于雙原子分子來說i=5，因而e=5/2νr t ，借助于理想氣體狀態方程pv=νr t=(m/m)rt,可以得到最終正確答案。