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第四章 理論力學

 

第一節  靜力學

明確物體狀態，物體運動狀態——相互關系

一、              靜力學基本概念

靜力學：是研究物體在力作用下處于平衡時的規律的科學。所謂平衡，指物體相對于地面保持靜止或

勻速直線運動狀態。使物體保持平衡的作用力系稱為平衡力系。

1.力的概念及效果

力是物體間的相互作用，這種作用使物體的運動狀態或物體的形狀發生改變，前者稱為力的外效應，

后者稱為力的內效應。理論力學只討論力的外效應。力的三個要素：大小、方向和作用點，因而力是一矢量。本書中用粗斜體字母表示矢量，如力f；用細斜體的同一字母表示矢量的大小，如f。力的單位是n(牛頓)或kn(千牛)。

2.剛體

所謂剛體，即在力的作用下不變形的物體。在靜力學中，所研究的物體都是指剛體。

3.靜力學公理

（1）二力平衡公理

作用在同一剛體上的兩個力，使剛體平衡的必要和充分條件是：這兩個力等值、共線、反向。受兩力作用而

平衡的構件或直桿分別稱為二力構件或二力桿。（這是考點）

（2）加減平衡力系公理

在作用于剛體上的任意一個力系中，加上或去掉任何一個平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。兩公理

的推論—力的可傳性；作用于剛體上的力可沿其作用線移動，而不改變該力對剛體的效應。故作用于剛體上力的三要素可表述為：力的大小、作用線和指向。因而，力矢是滑動矢量。

（3） 力的平行四邊形法則

作用于物體上同一點的兩個力，可以合成為作用于該點的一個合力，合力由以這兩個力的矢量為鄰邊所構成

的平行四邊形的對角線來表示(圖4—1—1a)。亦可用圖4—1—1b所示的力三角形abc表示，并將其稱為力三角形法則。合力r與分力f1、f2的矢量表達式為：r=f1+f2

（4）作用與反作用定律

兩物體間相互作用的一對力，總是等值、反向、共線，并分別作用在這兩個物體上。

（5）剛化原理

當變形體在已知力系作用下處于平衡時，若將此變形體轉換成為剛體，則其平衡狀態不變。此公理表明，剛

體靜力學的平衡條件是變形體平衡的必要條件，而非是充分條件。

4.三力平衡定理

剛體受不平行的三力作用而處于平衡時，此三力的作用線必共面且匯交于一點。應當指出，三力作用線共面且匯交于一點，此僅是不平行的三力平衡的必要條件。（這是因為不平行的三力可以共面匯交一點，合力不一定等于零）

5.約束與約束反力

阻礙物體運動的限制物稱為約束。約束對被限制物的作用力稱為約束反力，簡稱反力。約束反力以外的其他

力統稱為主動力。約束反力的方向恒與約束所能阻止的物體的運動或運動趨勢的方向相反。（體現了阻礙作用）表4—1—1列出了工程中常見的幾種基本約束類型及其約束反力。

6.受力圖

受力圖是分析研究對象全部受力情況的簡圖。其步驟：首先取脫離體，其次畫上全部主動力和約束反力。對于方向不能確定的約束反力如鉸鏈約束，（即有沒有，存在不存在反力，判斷出一個反力，通過平衡條件可以推斷相平衡的反力）有時可利用平衡條件來判斷。

畫受力圖時，應注意復鉸(兩個以上物體用圓柱銷相連接)、作用于鉸處的集中力和作用于相鄰兩剛體上的線

分布力等情況的處理方法。

鉸鏈2（受力圖清楚，進行力的分析，處理。空間力——平面力——具體到坐標上計算）

二、力的投影·力對點之矩與力對軸之矩

1.力在直角坐標軸上的投影

x＝fcosα＝fxycosφ

y=fcosβ= fxysinφ

z=fcosγ

式中α,β,γ為力f與各軸正向間的夾角；fxy是力f在oxy平面上的投影(圖4-1-2)是個矢量；角φ為fxy

與x軸正向間的夾角。若將力f沿直角坐標軸分解，則有：f=f_x+f_y+f_z=xi+yj+zk

 

2.力對點之矩(簡稱力矩)

在平面中，力對點之矩是個代數量，即：m_o(f)=±fd。點o稱為矩心，d為力臂。通常規定力使物體繞矩心逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之取負號。在空間問題中，力對點之矩是個定位矢(圖4—1—3)，其表達式為：m_o(f)=r×f=(yz-zy)i+(zx-xz)j+(xy-yx)k

力矩的單位為n·m(牛·米)或kn·m(千牛·米)。

3.力對軸之矩

力對任一z軸之矩是一代數量，其表達式為：m_z(f)=m_o(f_xy)= ±f_xyd

式中正、負號用右手法則確定(圖4-1-4)。顯然，當力f與矩軸z共面(包括平行或相交)時，力對該軸之矩等于零。力對軸之矩的單位與力矩相同。

若取矩心o為直角坐標系的原點，則力對點o之矩可由力對軸之矩來計算，即

m_o(f_xy)= m_x(f)i+ m_y(f)j+ m_z(f)k

三、匯交力系的合成與平衡（前面敘述過共面相交的三個力）

匯交力系合成結果有兩種可能：其—，是一個合力r，合力矢為r=∑fi。合力作用線通過匯交力系的匯交點；

其二，合力r等于零，即r=0  或  ∑fi=0這是匯交力系平衡的必要與充分條件。

求解匯交力系的合成與平衡問題各有兩種方法，即幾何法和解析法，如表4—1—2所示。對于空間匯交力系，

由于作圖不方便，一般都采用解析法。

 

 

表4—1—2       求解匯交力系的兩種方法

四、力偶理論

1.力偶

兩個等值、反向、不共線的平行力組成的力系稱為力偶，記為(f、f’)。力偶只能引起物體的轉動而不能使

物體移動，力偶中兩個力對任一根軸的投影之和恒等于零。由此可知，力偶沒有合力。既不能與一個力等效，也不能與一個力相平衡。力偶只能與力偶等效或相平衡。

2.力偶矩

力偶的轉動效應決定于力偶矩，它的計算如表4—1—3所述。

自由轉動：驅動下一直旋轉的線框

表中，f為組成力偶的力的大小，d為力偶中兩力作用線間的垂直距離，并稱為力偶臂。力偶矩的單位為

n·m(牛·米)或kn·m(千牛·米)。應當注意，力偶矩矢與矩心位置無關，這一點與力對點之矩是不同的。

綜上可知，兩個力偶等效條件是該兩力偶矩矢相等。由此等效條件可以得出下列兩個推論。

1）：只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內任意移轉，或從剛體的一個平面移到另一個平行平面內，

而不改變其對剛體的轉動效應。

2）：在保持力偶矩大小和轉向不變的條件下，可以任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對

剛體的轉動效應。

3.力偶系的合成與平衡

力偶系合成結果有兩種可能，即為一個合力偶或為平衡。具體計算時，通常采用解析法，如表4-1-4所述。

表中，m_ix、m_iy、m_iz分別為力偶矩矢mi在相應坐標軸上的投影。

可以證明，力偶中兩個力f和f’，對任一x軸之矩的和等于該力偶矩矢m在同一根軸上的投影，即

式中α為m與x軸正向間的夾角。

五、任意力系的合成與平衡

1.力線平移定理

力線平移定理：作用于剛體上的力f，可以平移到剛體上的任意點o，但必須在此力線與o所決定的平面內

附加一力偶，此力偶矩矢的大小與方向等于力f對o點的矩矢，即m＝mo(f)，如圖4-1-9所示。圖中f＝f’＝f’’。

顯然，同平面的一個力f’和一個力偶矩矢為m的力偶也一定能合成一個力，其力矢f=f’，力f的作用點

到力f’作用線的距離為d=m/f’。力線平移定理是任意力系簡化的理論依據。

2.任意力系的合成

（1）合成的一般結果

以o點為簡化中心，任意力系合成的一般結果為

力矢r’稱為原力系的主矢，它的大小和方向與簡化中心位置無關；力偶矩矢m0(或力偶矩m0)稱為原力系對簡化中心o點的主矩，一般地說與簡化中心位置有關。

（2）合成的最后結果

任意力系(包括空間和平面)向一點簡化后，其最后合成結果可能出現表4—1—5所列出的幾種情況.

表中，中心軸是指組成力螺旋的力的作用線。

因平面任意力系是空間任意力系的特殊情況，其向o點簡化的主矩可視為垂直于力系作用平面的一個主矩

矢，因此上表4-1-5(除力螺旋外)所述亦可適用于平面任意力系。當任意力系合成為一合力r時，則有

即合力對任一點(或任一軸如z軸)之矩，等于力系中各力對同一點(或同一軸)之矩的矢量和(或代數和)，并稱

之為合力矩定理。對于平面力系，合力矩定理可表示為

在計算力對坐標軸之矩時，應用合力矩定理，常可使計算簡化。這時，可先將原力沿坐標軸分解為三個分力，

然后計算各分力對坐標軸之矩。由于平行力系是任意力系的特殊情況，故任意力系的合成結果也適用于平行力系。

（3）平行分布的線荷載的合成

沿物體中心線分布的平行力，稱為平行分布線荷載，簡稱線荷載。沿單位長度分布的線荷載稱為線荷載集度，

以q表示。其單位為n／m(牛／米)或kn／m(千牛／米)。

同向線荷載合成結果為一合力r，該合力的大小和作用線位置可通過求積分的方法和合力矩定理求得。均勻

分布和線性分布的線荷載的合成結果如圖4—1—10所示。

3.力系的平衡條件與平衡方程

任意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢與力系對任一點的主矩都等于零，即

據此得出表4—1-6所列出的各組平衡方程。但應當指出，在空間任意力系和空間平行力系的平衡方程組中，其投影方程亦可用對軸的力矩方程來替代。當然，該力矩方程必須是獨立的平衡方程，即可用它來求解未知量的平衡方程。