第五章 材料力學

第一節            緒論

一、        材料力學的任務

材料力學是一門重要的技術基礎課。它既是固體力學的入門課程，又是結構設計課程的重要基礎，材料力學的任務就是在構件具有相應承載能力的條件下以最經濟的代價，為構件確定合理的形狀和尺寸，選擇適當的材料，為構件的設計提供必要的理論基礎和計算方法。構件在荷載作用下必須滿足以下條件。

強度-是指構件在荷載作用下抵抗破壞的能力。（即構件在荷載作用下不會發生意外斷裂或不可恢復性變形）

剛度-是指構件在荷載作用下抵抗變形的能力。（即構件在荷載作用下不會產生過大的彈性變形-不超過工程的允許范圍）

穩定性-是指構件保持其原有平衡形式的能力。（即構件在荷載作用下不會發生失穩現象）。

這里強調一下：材料力學所研究的僅限于材料的宏觀力學行為，其主要研究對象是彈性范圍內的桿件；不涉及材料的微觀機理。

二、        變形固體的基本假設

在材料力學中經常要用到基于簡化、假定的理想化，即對物體的形狀、材料以及作用在物體上的荷載作某些與實際相近的簡化或假定，使復雜問題理想化。下面介紹關于材料理想化的幾個基本假定，即有關變形固體的基本假定。

各種構件均由固體材料制成。固體在外力作用下將發生變形故稱為變形固體。材料力學中對變形固體所作的基本假設是：

（一）均勻、連續性假設

組成固體的物質毫無空隙地充滿了固體的幾何空間。

（二）各向同性假設

在固體的體積內，物體中各點在各個方向上的力學性能相同，可以用一個參數描寫各點在各個方向上的某種力學性能。

（三）小變形假設

小變形就是：構件由荷載引起的變形遠小于構件的原始尺寸。變形遠小于構件尺寸，在研究構件的平衡和運動時按變形前的原始尺寸進行計算,以保證問題在幾何上是線性的。小變形假設使問題得到簡化：分析結構平衡時，可采用理論力學的剛體靜力學方法；構件的復雜變形可處理為若干基本變形的疊加。

三、        桿件的主要幾何特征

桿件是指長度遠大于橫向尺寸(高度和寬度)的構件。這是材料力學研究的主要對象。桿件的兩個主要的幾何特征是橫截面和軸線。

橫截面——垂直于桿件長度方向的截面。

軸線——各橫截面形心的連線。

若桿的軸線為直線，稱為直桿。若桿的軸線為曲線，稱為曲桿。

 

 

 

 

 

 

 

四、        桿件變形的基本形式:

 

桿件變形的基本形式有：拉伸、壓縮、剪切、扭轉、彎曲。材料力學后面的知識其實也是圍繞這這五個基本形式展開的，或者是這幾個形式其中的某兩個、三個的組合，

上面是材料力學的一些概述內容，本小節重點掌握的是考試大綱中規定的：

材料在拉伸、壓縮時的力學性能-低碳鋼、鑄鐵拉伸、壓縮試驗的應力-應變曲線；力學性能指標。

五、        低碳鋼在拉伸時的力學性能

（1）低碳鋼試件的拉伸應力-應變曲線規律（四個階段，3個強度指標），如圖所示。

3個強度指標：強度極限；屈服極限；比例極限。塑性指標是：伸長率和斷面收縮率。

（2）、卸載定律：在加載過程中，如果加載到強化階段的任意點（d）后卸載，應力應變曲線沿著一條與oa平行的直線下降。即卸載按彈性規律，卸載后再加載，應力應變曲線基本按卸載路徑返回。

（3）、冷縮硬化：

在加載到強化階段后卸載，然后再加載，屈服點（d）明顯提高，斷裂前變形明顯減小，這種現象稱為“冷縮硬化”，即比例極限提高而塑性降低的現象。

六、        鑄鐵的拉伸壓縮力學性能

特點：應力-應變曲線沒有明顯的直線部分，沒有屈服階段，只有一個強度指標-強度極限σb，鑄鐵的抗壓能力顯著高于抗拉能力。

第二節    軸向拉伸與壓縮

本節大綱要求基本要求內容是：掌握軸力和軸力圖；桿件橫截面和斜截面上的應力；強度條件；虎克定律；變形計算。

七、         軸向拉伸與壓縮的概念

（一）力學模型

軸向拉壓桿的力學模型如下圖5—2—1所示。

（二）  受力特征

其受力特點：是桿在兩端各受一集中（合）力ｐ的作用，這兩個ｐ力大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合。判斷是拉力和壓力的方法就是：偏離截面的是軸向拉力，指向橫截面的是軸向壓力。  

（三）  變形特征

變形特征是：桿件主要產生軸線方向的均勻伸長(縮短)。

軸向拉伸(壓縮)桿橫截面上的內力

（一）內力

由外力作用而引起的構件內部各部分之間的相互作用力；

（二）求內力的方法-截面法

截面法是求內力的一般方法。用截面法求內力的步驟為

1．截開 在需求內力的截面處，假想地沿該截面將構件截分為二。

2．代替 任取一部分為研究對象，稱為脫離體。用內力代替棄去部分對脫離體的作用。

3．平衡 對脫離體列寫平衡條件，求解未知內力。截面法的圖示如圖5－2－2。

（三）軸力

軸力就是：軸向拉壓桿橫截面上的內力，其作用線必定與桿軸線相重合，稱為軸力。以n（或f_n）表示。軸力n規定以拉力為正，壓力為負。

（四）軸力圖

表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規律的圖線。

 

[例5－2－1]  畫出圖5－2－3中直桿的軸力圖。

[解] 按照截面法的原則，我們首先 用截面1—1、2－2、3－3將桿截開，取脫離體如圖所示。各截面的軸力n₁、n₂、n₃均假定為拉力。由靜力平衡方程∑x=0分別求得：

其中負號表示軸力為壓力。

取坐標系nox，x軸平行桿軸線，根據各段軸力的大小和正負可繪出軸力圖，如圖5-2-3所示。

分析與討論：

１．本例中若取截面左部分為脫離體時，則應先計算桿件的未知外力(包括支座反力)。

２．用截面法求軸力時，總是假設截面上的內力為正，這樣由平衡條件解得的內力的正負號，就是該截面上內力的實際的正負號。

３．作多個集中外力作用桿的軸力圖可采用簡易法，其原則是：在集中外力作用的截面上軸力圖有突變，突變大小等于集中力的大小，突變方向看集中力對后段桿的作用是拉或壓，拉者向上突變，壓者向下突變。

上面的例題必須掌握。下面看10年的第59個真題，

59.等截面桿，軸向受力如圖所示。桿的最大軸力是：

（a）8kn         （b）5 kn          （c）3kn           （d）13kn 

 

軸向拉壓桿橫截面上的應力

分布規律：軸向拉壓桿橫截面上的應力垂直于截面，為正應力。且正應力在整個橫截面上均勻分布，如圖5－2－4所示。

正應力公式                           

式中 ： n為軸力(n)，a為橫截面面積(㎡)。 應力單位  n／㎡即pa。

軸向拉壓桿斜截面上的應力

斜截面上的應力均勻分布，如圖5－2－5，

其總應力及應力分量為：

總（全）應力：

斜截面的正應力和剪應力

式中  α—由橫截面外法線轉至斜截面外法線的夾角，以逆時針轉動為正；—斜截面mm的截面積；—橫截面上的正應力。

拉應力為正，壓應力為負。　以其對脫離體內一點產生順時針力矩時為正，反之為負。

根據公式可以看出：軸向拉壓桿中最大正應力發生在α＝0度的橫截面上，最小正應力發生在α＝90°的縱截面上，其值分別為：

最大剪應力發生在α=±45°斜截面上，最小剪應力發生在α=0度的橫截面和α=９0°的縱截面上，其值分別為

下面看一個例題：這個題考的就是基本概念，很簡單，根據上面的公式得到答案是c，

五、強度條件

（一）許用應力

材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以安全系數求得。

塑性材料   

脆性材料

式中：σ_s為屈服極限，σ_b為抗拉強度-強度極限，n_s，n_b為安全系數（大于1）。　

（二）強度條件

構件的最大工作應力不得超過材料的許用應力。軸向拉壓桿的強度條件為

強度條件可以解決的三類問題：

強度校核：

截面設計a≥n_max/[σ]

確定許可荷載：n_max≤［σ］a

根據平衡條件，由n_max計算容許的外力［p］。

六、軸向拉壓桿的變形 和虎克定律

（一）軸向拉壓桿的變形

桿件在軸向拉伸時，軸向伸長，橫向縮短；而在軸向壓縮時，軸向縮短，橫向伸長。

軸向變形△l＝l’—l    

軸向線應變ε＝△l/l 

橫向變形  △a=a’－a

橫向線應變ε’=△a/a

（二）虎克定律

當應力不超過材料比例極限時，應力與應變成正比。即

σ＝eε

式中  e為材料的彈性模量。

或用軸力及桿件變形量表示為

△l= nl/ea

式中  ea為桿的抗拉(壓)剛度，表示桿件抵抗拉、壓彈性變形的能力。

虎克定律可以描述為：在比例極限（材料發生線彈性變形對應的最大應力）內，桿的總線變形△l與軸力n，桿長l成正比，與乘積ea成反比。

（三）泊松比-橫向變形系數

當應力不超過材料的比例極限時，橫向線應變ε‘，與縱向線應變ε之比的絕對值為一常數。即

ν=∣ε’/ε∣

泊松比ν是材料的彈性常數之一，無量綱。

（四）變形能

桿件在外力作用下因變形而貯存的能量稱為變形能。若變形是彈性的，則稱為彈性變形能。軸向拉壓桿的彈性變形能為

  

變形能的單位為焦耳(j)

比能： 單位體積內貯存的變形能，稱為比能。

軸向拉壓桿的彈性變形比能為

比能單位j／m3。

[例5-2-2]  圖5-2-7所示鋼木組合三角架中，鋼桿ab的直徑d=28㎜，許用應力[σ]₁=160mpa，彈性模量e₁=2×10⁵mpa；木桿bc的橫截面為正方形，邊長d=100㎜，許用應力[σ] ₂=5mpa，彈性模量e2=1×10⁴mpa。a、b、c節點均為鉸接， 在節點b處作用一垂直荷載p。

1．若荷載p=36kn，試校核兩桿的強度，并求節點b的位移；

2．求該結構的許可荷載；

3．若p等于許可荷載，計算鋼桿的直徑。

 [解]  1．校核兩桿的強度

先求各桿的內力。取節點b為脫離體，如圖(b)所示。由平衡條件：

  解得

 

兩桿橫截面上的應力

所以，兩桿均滿足強度條件。

  2．求節點b的位移

應先計算兩桿在p力作用下的變形。

然后作變形位移圖。結構變形后兩桿仍應相交在一點，這就是變形的相容條件。因桿ab受拉力而伸長△l₁，b點移至新位置b₁；因桿cb受壓力而縮短△l₂，b點移至新位置b₂。在小變形條件下，可用切線代替圓弧來確定節點b的新位置。即過b₁和b₂分別作ab_l和ab₂的垂線，兩垂線的交點b’即為節點b的新位置，如圖(c)所示。從圖中可看出：

b點的水平位移為

b點的垂直位移為

所以，b點的位移為

3．求結構的許可荷載[p]

由強度條件，鋼桿的許可軸力為

相應的許可荷載為

同理，木桿的許可軸力為

相應的許可荷載為

為了保證兩桿都能安全、正常地工作，結構的許可荷載應取上述[p]₁、[p]₂中的較小值。即

[p]₁=[p]₂=37.5kn

    4．重新選擇鋼桿的直徑

當p= [p] =37.5kn時，木桿的工作應力剛好等于許用應力，材料得到充分利用。但鋼桿的工作應力比其許用應力小得多，表明它有多余的強度儲備，故應重新選擇鋼桿的直徑，使其達到既安全又經濟的要求。由強度條件

得

于是，選取鋼桿直徑d＝22㎜，則鋼桿的工作應力比其許用應力大2．8％，在工程上允許范圍(±5％)以內。