第五節  截面圖形的幾何性質

本節大綱要求：靜矩和形心；慣性矩和慣性積；平行軸公式；形心主軸及形心主軸慣性矩概念。

靜距與形心
（一）定義

設任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—1)，則圖形

對z、y軸的靜矩（y/zda在整個圖形范圍內的積分，稱為面積a對做坐標軸z、y的靜矩）

  形心c的坐標

 （二） 特征

1．靜矩是對一定的軸而言的，同一圖形對不同坐標軸的靜矩不同。靜矩可能為正、  為負或為零。

2．靜矩的量綱為[長度]³，單位為m³。

3．圖形對任一過形心軸的靜矩為零；反之，若圖形對某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。

4．若截面圖形有對稱軸，則圖形對于對稱軸的靜矩必為零，圖形的形心一定在此對稱軸上。

5．組合圖形對某一軸的靜矩，等于各組分圖形對同一軸靜矩的代數和(圖5—5—2)，即

 

 

慣性矩 、 慣性積

（一）定義

設任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—3)，則圖形對y、z軸的慣性矩

對o點的極慣性矩

對y、z軸的慣性積

（二）特征

1．圖形的極慣性矩是對某一極點定義的，軸慣性矩是對某—坐標軸定義的，慣性積是對某一對坐標軸定義的。

2．極慣性矩、軸慣性矩、慣性積的量綱為長度四次方，單位為m⁴。

3．極慣性矩、軸慣性矩其數值均為正；慣性積的數值可正可負，也可能為零，若一對坐標軸中有一軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對坐標軸的慣性積必等于零；但圖形對某—對坐標軸的慣性積為零，則這對坐標軸中不一定有圖形的對稱軸。

4．極慣性矩的值恒等于以該點為原點的任一對坐標軸的軸慣性矩之和，即

5．組合圖形對某一點的極慣性矩或對某一軸的軸慣性矩，分別等于各組分圖形對同一點的極慣性矩或對同一軸的軸慣性矩之和，即

組合圖形對某一對坐標軸的慣性積，等于各組分圖形對同—對坐標軸的慣性積之和，即

 

慣性半徑

（一）定義

任意形狀截面圖形的面積為a，則圖形對y軸和z軸的慣性半徑分別為

（二）特征

1．慣性半徑是對某一坐標軸定義的。

2．慣性半徑的量綱為長度一次方，單位為m。

3．慣性半徑的數值恒取正值。

平行移軸公式

設任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—4)，形心為c，圖形對形心軸y_c、z_c的軸慣性矩分別為,慣性積為，則圖形對平行于形心軸的坐標軸y、z的慣性矩和慣性積分別為

 

（慣性矩和截面慣性積的平行移軸公式）

運用上述公式時應注意：

1．利用平行移軸公式計算必須從形心軸出發；a、b是形心c在新坐標系y、z中的坐標，所以是有正負的。

2．在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小；但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。

形心主軸  形心主慣性矩

主慣性軸： 截面圖形對于某一對正交坐標軸的慣性積為零，則這對軸稱為主慣性軸，簡稱主軸。即i_yz=0時，y、z軸即為主軸。

主軸的方位

主慣矩：截面圖形對主軸的慣性矩，稱為主慣矩。它是圖形對過同一點的所有坐標軸的慣性矩中的最大值和最小值，其值為

且

形心主軸 ：通過圖形形心的一對主軸。

形心主慣性矩： 截面圖形對形心主軸的慣性矩。

可以證明：

1．若圖形有一根對稱軸，則此軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過圖形形心并與對稱軸垂直的軸。

2．若圖形有二根對稱軸，則此二軸即為形心主軸。

3．若圖形有三根以上對稱軸時，則通過形心的任一軸均為形心主軸，且主慣矩相等。

常用簡單圖形的慣矩

公式5－5－17為矩形，5－5－18為圓形，5－5－19為空心圓截面

08年考題：

考的基本概念：極慣性矩的值恒等于以該點為原點的任一對坐標軸的軸慣性矩之和，即