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第三節(jié)  數(shù)字信號(hào)

一、 《 考試大綱 》 的規(guī)定

數(shù)字信號(hào)的邏輯編碼與邏輯演算；數(shù)字信號(hào)的數(shù)值編碼與數(shù)值運(yùn)算。

 

二、重點(diǎn)內(nèi)容

1 ．?dāng)?shù)字信號(hào)的數(shù)值編碼

數(shù)字信號(hào)是二進(jìn)制數(shù)字符號(hào)“ 0 ”和“ 1 ”的物理實(shí)現(xiàn)形式，用它來表示數(shù)值并進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，就必須采取二進(jìn)制形式表示數(shù)。二進(jìn)制數(shù)的位按從右向左的順序排列，分別記為第0位，第 1 位，第 2 位， … … 。最右邊的位稱為最低位，記為 lsb （ list significant bit ） ；最左邊的位稱為最高位，記為 msb （ most significant bit ）。每一位稱為一個(gè)比特 （ bit ） ，二進(jìn)制數(shù)的每一位對(duì)應(yīng)于數(shù)字信號(hào)的一個(gè)脈動(dòng)位置，故一個(gè) n bit 的二進(jìn)制數(shù)可以用一個(gè) n bit 的數(shù)字信號(hào)來表示。

在數(shù)字系統(tǒng)中，通常以 4bit 代碼為基本單元來編碼數(shù)，基本單元組可以表示 2⁴＝16 個(gè)數(shù)，故從技術(shù)的角度，以 16 為基數(shù)按十六進(jìn)制來表示數(shù)較為合理，所以計(jì)算機(jī)技術(shù)中使用十六進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制代碼進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算和信息的處理。表 7－3－1 列出的是二進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)的對(duì)照表，為便于區(qū)別，在十六進(jìn)制數(shù)代碼后面加上一個(gè)字母 h 作為標(biāo)記。

二進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)，以及八進(jìn)制數(shù)等，統(tǒng)稱 r 進(jìn)制數(shù)。 r 進(jìn)制數(shù)需注意的是： ① r 進(jìn)制數(shù)中的最大數(shù)符為 r－1 ，而不是 r ； ② 每一數(shù)符只能用一個(gè)字符來表示。不同計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換，具體如下：

 

（ 1 ） r 進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

基數(shù)為r的數(shù)字，在將其轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)時(shí)，只要將各位數(shù)字與它的位權(quán)相乘的積相加，其和數(shù)就是十進(jìn)制數(shù)。如下列：

二進(jìn)制數(shù)（ 1101101 . 01 ） ₂ 轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則：

 

（ 2 ）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為 r 進(jìn)制數(shù)

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為基數(shù)為 r 的等效數(shù)值，可將此十進(jìn)制數(shù)分成整數(shù)和小數(shù)兩部分分別進(jìn)行各自的轉(zhuǎn)換，然后再拼接起來即可。對(duì)于十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分，采用“除 r 記余”法，即用十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)連續(xù)地除以 r ，其余數(shù)即為 r 進(jìn)制的各位系數(shù)。如下列：

對(duì)于十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分，可采用“乘 取整”法，即小數(shù)部分連續(xù)地乘以r，直到小數(shù)部分為0或達(dá)到所要求的精度為止（小數(shù)部分可能永不會(huì)為0 ） ，得到的整數(shù)即組成 r 進(jìn)制的小數(shù)部分。如下例：

所以，（ 0.125 ） ₁₀＝ （ 0.001 ）₂

需注意的是，十進(jìn)制小數(shù)常常不能完整準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換成等值的二進(jìn)制小數(shù)（或其他 r 進(jìn)制數(shù)），通常會(huì)有轉(zhuǎn)換誤差存在。

將十進(jìn)制數(shù) 17.125 轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，即為： （ 17.125 ） ₁₀＝ （ 1001 . 001 ） ₂

同理，將十進(jìn)制數(shù) 987 轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制，如下：

所以， （ 987 ） ₁₀＝（ 3db ） ₁₆

（ 3 ）二、八、十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

由于二、八、十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)之間有內(nèi)在的聯(lián)系，即 2³＝8 , 2⁴＝16 ，即每位八進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于三位二進(jìn)制數(shù)，每位十六進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于四位二進(jìn)制數(shù)，反之亦然。在轉(zhuǎn)換時(shí)，位組的劃分是以小數(shù)點(diǎn)為中心向左、右兩邊分別進(jìn)行，中間的0不能省略，兩頭不夠時(shí)可以補(bǔ)0。

如下例：將（ 10110001 . 00101 ） ₂ 轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)，則：

將（ 3 afb . 4b ） ₁₆ 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，則：

同樣，將（10101001 . 00101 ） 2 轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)，則：

所以， （ 10101001 . 00101 ） 2＝（ 251 . 12 ） 8

將（ 2 6 . 53 ） 8 轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，則：

所以， （ 26 . 53 ） 8 = （ 10110 . 101011 ） 2

2 ．?dāng)?shù)字信號(hào)的數(shù)值運(yùn)算

除了進(jìn)位規(guī)則不同外，二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算法則與十進(jìn)制數(shù)相同。

（ 1 ）加法，它是以最低位開始逐位完成兩數(shù)相加和進(jìn)位操作。

（ 2 ）減法，先引人反碼、補(bǔ)碼的概念，反碼是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)按位取反，即變 1 , 1 變0。后組成的代碼。如數(shù) 1010的反碼是 0101 ；補(bǔ)碼是一個(gè)數(shù)的反碼加 1 后所得的代碼。如數(shù) 1010 的反碼是 0101 ，其補(bǔ)碼為：0101 + 1 ＝0110 。補(bǔ)碼原理是：一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)相加等于零，則這個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)的大小相等符號(hào)相反，則其中一個(gè)數(shù)的代碼就是另一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼。如數(shù) 1010與它的補(bǔ)碼 0110 之和： 1010＋ 0110＝（1） 0000 ，舍去進(jìn)位后正好是 0 。

因此，在二進(jìn)制數(shù)減法運(yùn)算中，將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為被減數(shù)代碼和減數(shù)補(bǔ)碼之間的加法運(yùn)算。

此外，為了區(qū)分正數(shù)和負(fù)數(shù)，在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)內(nèi)，把二進(jìn)制代碼的最高位作為符號(hào)位，0 表示正數(shù)， 1 表示負(fù)數(shù)。由此，一組 4bit 代碼所能表示的正數(shù)、負(fù)數(shù)如表 7－ 3－2 所示。

 

（ 3 ）乘法，二進(jìn)制的乘法也是從右向左逐位操作的，如圖 7－3－1 （ a ）所示。從圖 7 －3－1 （a）可發(fā)現(xiàn)：它實(shí)際上是由一系列“移動(dòng)”和“相加”操作組成，即被乘數(shù)逐步左移并逐步相加即可完成乘法計(jì)算。

（ 4 ）除法，二進(jìn)制數(shù)除法運(yùn)算也是從左向右操作的，如圖 7— 3 —1 （ b ）所示。

從圖 7—3 —1 （ b ）可發(fā)現(xiàn)：它實(shí)際上是由一系列“移動(dòng)”和“相減”操作組成，即以被除數(shù)逐步右移并逐步與被減數(shù)相減的方式完成除法運(yùn)算。可見，二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算都可以用它的代碼“移位”和“”（相減轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼后相加）兩種操作來實(shí)現(xiàn)。

由此，它們可以用數(shù)字信號(hào)的“移位”和數(shù)字信號(hào)的“相加”操作由移位寄存器電路來實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)。

3．?dāng)?shù)字信號(hào)的邏輯編碼和邏輯運(yùn)算

在邏輯體系中，對(duì)邏輯命題只做“真”或“假”、“是”或“非”、“有”和“無”等的簡(jiǎn)單判斷，即邏輯命題只取兩個(gè)值，用代碼形式可表示為“0”或“ 1 ”兩種狀態(tài)。對(duì)邏輯函數(shù)則只做“與”、“或”、“非”三種基本的運(yùn)算。數(shù)字邏輯體系是指用數(shù)字信號(hào)表示并采用數(shù)字信號(hào)處理方法實(shí)現(xiàn)演算的一種邏輯體系。數(shù)字邏輯是二值的，即“0”“ l ”表示邏輯變量的取值， " 0”表示“假” （ f ） ; " 1 " 表示“真” （ t）。邏輯運(yùn)算法則，它表述的是一些邏輯等價(jià)關(guān)系。在邏輯問題中，兩個(gè)真值完全相同的邏輯命題或表達(dá)或相互等價(jià)。常用的等價(jià)關(guān)系見表 7－3－3 。表中，反演率也稱為摩根定理。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)，其目的是簡(jiǎn)化其表達(dá)式，凸顯其內(nèi)在邏輯關(guān)系，并簡(jiǎn)化邏輯運(yùn)算電路的組成。但是，在邏輯運(yùn)算電路中要考慮邏輯系統(tǒng)組建的技術(shù)因素，故邏輯表達(dá)式的簡(jiǎn)化形式并非“越簡(jiǎn)越好”。

當(dāng)用數(shù)字信號(hào)表示邏輯變化的取值情況，邏輯函數(shù)的演算即可以通過數(shù)字信號(hào)處理的方法來實(shí)現(xiàn)。在數(shù)字系統(tǒng)中，使用專門制作的各種邏輯門電路來自動(dòng)地完成數(shù)字信號(hào)之間按位的邏輯運(yùn)算，并將這些基本的邏輯門電路組合起來組建成組合邏輯系統(tǒng)，就可以完成任意復(fù)雜的邏輯函數(shù)的運(yùn)算。

4 ．模一數(shù)（ a / d ）轉(zhuǎn)換和數(shù)一模（ d / a ）轉(zhuǎn)換

（ 1 ）模一數(shù)（ a / d ）轉(zhuǎn)換

a / d 轉(zhuǎn)換是對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行幅值量化處理，即用二進(jìn)制代碼來表示采樣瞬間信號(hào)的值，也即用“0”、“ 1 ”代碼對(duì)采樣信號(hào)的值進(jìn)行編碼，從而將采樣信號(hào)進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)。可見， a / d 轉(zhuǎn)換是對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行編碼，變?yōu)閿?shù)字信號(hào)。由于系統(tǒng)誤差和外界干擾的影響， a / d 轉(zhuǎn)換中會(huì)產(chǎn)生測(cè)量誤差。如一個(gè) 8 位的逐次比較型 a / d 轉(zhuǎn)換器組成一個(gè)5v量程的直流數(shù)字電壓表，該直流數(shù)字電壓表存在一個(gè)字的誤差，即一個(gè)量化單位的誤差。一個(gè) 8 位逐次比較型 a / d 轉(zhuǎn)換器可以完成 255 （ 2⁸一 l ） 個(gè)階梯形逐次增長(zhǎng)的電壓，并與被測(cè)電壓進(jìn)行比較。而 5v 量程，則需經(jīng)過 255 次的比較才完成對(duì) 5v 電壓的測(cè)量，所以，每一個(gè)階梯的電壓值即一個(gè)量化單位為：

所以它的一個(gè)字的誤差為19.61mv ，相應(yīng)的滿量程測(cè)量精度為： 19.6078mv / 5v = 0. 392 ％。

（2）數(shù)一模（d / a ）轉(zhuǎn)換 d / a 轉(zhuǎn)換

則是對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行解碼，將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)。從工程技術(shù)的角度， d / a 轉(zhuǎn)換只需用簡(jiǎn)單的電阻網(wǎng)絡(luò)即可實(shí)現(xiàn)。

6.邏輯函數(shù) f＝ab + a＋b 簡(jiǎn)化結(jié)果為（c）。

a . a + ；

b . a ；

c . a + b；

d . ab