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1.2  微分學

1.2.1  函數極限與連續

1.函數

兩個變量之間的對應關系，它要求一個變量確定，則另一個變量唯一確定。

（1）有界性：|f(x)|£m

（2）單調性：若x<y，必有f(x)<f(y)，則稱f(x)遞增，若f(x)>f(y)，則稱其遞減

（3）奇偶性：若f(-x)=f(x)，則稱偶函數，若 f(-x)=-f(x)，則稱其為奇函數

（4）周期性：若存在t，使得f(x+t)=f(x)，則稱其為以t為周期的周期函數

基本初等函數

（1）常數y=c

（2）指數函數y=a^x   

（3）冪函數y=x^a   

（4）對數函數y=log_a^x  

（5）三角函數y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx

     y=secx,y=cscx

（6）反三角函數y=arcsinx,y=arccosx

     y=arctanx,y=arccotx

初等函數：由基本初等函數經過有限次四則運算或復合而構成的函數。

2.極限

 

極限存在的兩個定理及兩個重要極限

夾逼定理：

單調有界準則：單調有界數列必有極限

第一個重要極限

第二個重要極限 

無窮小有關理論

（1）定義：以0為極限的變量

           有限個無窮小之和是無窮小

           有限個無窮小之積是無窮小

           有界變量與無窮小之積是無窮小

（2）

     其中 是同過程下的無窮小

（3）某一過程中絕對值是無窮大的變量稱為無窮大

（4）同一過程下的無窮大與無窮小互為倒數關系

（1）高階無窮小

（2）同階無窮小

（3）等價無窮小

（4）求極限時等價無窮小可以相互替換（乘法）

（5）

     

3.連續

（1）

（2）有界性定理

（3）最值存在定理

（4）零點存在定理

1.2.2 一元函數微分學

1.導數

2.導數公式與求導法則

基本求導公式

求導法則

鏈式法則

3.微分dy=y’dx

          

        

                              

            

基本微分公式

運算法則

 

微分的一階形式不變性

4.中值定理與泰勒公式

（1）中值定理

羅爾定理：函數f(x)滿足

1.在[a,b]上連續；

2.在(a,b)內可導；

3.f(a)=f(b)

則在開區間(a,b)內存在一點c，使f’(c)=0

拉格朗日定理：函數f(x)滿足

1.在[a,b]上連續；

2.在(a,b)內可導；

則在開區間(a,b)內存在一點c，使

f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

柯西定理：函數f(x)，g(x)滿足

1.在[a,b]上連續；

2.在(a,b)內可導，g’(x)¹0；

則在開區間(a,b)內存在一點c，使

 

（2）泰勒公式

                                             

                

（3）洛比達法則

            

    

   

     

5.函數的極值和最大值與最小值

                               

 

 

6.曲線的凹凸、拐點

典型例題

1.函數在   b

a.單調增

b.單調減

c.有界

d.偶函數

2.下列極限不正確的是  a

               

              

3.下列哪個是無窮小   a

           

       

4.與x等價的無窮小是  b

           

               

5.已知，則  b

               

         

6.在x=-1處連續的函數是    d

         

                 

7.下列數列不收斂的是    b

                   

                       

8.設函數f(x)在x₀ 處可導，則  d

                  

9.   導數為1的點  a

           

          

10.已知  ，則   a

       

        

11.設函數f(x)可微，則在點x處，當時 ,是  a

a.高階無窮小                b.低階無窮小

c.等價無窮小                d.同階不等價無窮小

 

12.  確定y是x的函數，則在點(1,1)處的切線斜率是 c

a.3         b.2         c.1         d.0

 

13. f(x)二階可導，且  ，則   d

    

14.設f(x)是偶數，若f’(-x₀ )=-k¹0，則f’(x₀ )=   b

a.-k                b.k         c.-1/k      d.1/k

 

15.函數f(x)在x₀ 處取極大值，則   d

                          

                或導數不存在