精品91麻豆免费免费国产在线_男女福利视频_国产一区二区三区小向美奈子_在教室里和同桌做校园h文

4.3動力學

本節(jié)內(nèi)容提示：

4.3.1牛頓定律及質(zhì)點運動微分方程

4.3.2動量定理

4.3.3動量矩定理

4.3.4動能定理

4.3.5達朗貝爾定理

4.3.6質(zhì)點的直線振動

4.3.1牛頓定律及質(zhì)點運動微分方程

1.牛頓第一定律

牛頓第一定律——如果質(zhì)點不受力的作用，那么它或者是靜止，或者是作勻速直線運動。

牛頓第一定律表明，任何物體都有保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)的屬性，該屬性習慣上稱為慣性。因此牛頓第一定律也稱慣性定律。

2.牛頓第二定律

牛頓第二定律——質(zhì)點受力的作用時所獲得的加速度與力的大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即

   或 

這是一個矢量表達式，它表明力的方向與加速度方向是一致的。

3.牛頓第三定律

牛頓第三定律——兩物體間相互的作用力，總是大小相等，方向相反，并且沿著同一條直線。

牛頓第三定律也稱為作用力和反作用力定律。這個定律不僅在物體平衡時適用，而且也適用于作任何形式運動的物體。

牛頓定律所給出的結(jié)論只有在慣性參考系才是正確的。

4.質(zhì)點運動的微分方程

質(zhì)點受到n個力f₁，f₂，…，f_n作用時，由質(zhì)點動力學的

基本方程，有

 

 

 

根據(jù)質(zhì)點運動學中描述質(zhì)點的運動的三種基本方法，可以將

質(zhì)點的動力學基本方程表示為不同形式的微分方程。

（1）質(zhì)點運動微分方程的矢量形式 

 

 

 

（2）質(zhì)點運動微分方程的直角坐標形式 

 

 

 

 

 

 

由牛頓第二定律得

 

 

 

（3）質(zhì)點運動微分方程的自然坐標形式 

若將課本中的式(6-2)在自然軸系的切線方向、法線方向投影可得質(zhì)點運動微分方程的自然坐標形式，即

 

 

 

例 質(zhì)量為m的質(zhì)點m繞橢圓形路線運動，如圖所示其運動方程為

 

方程中a、b、k都是常數(shù)，求作用在質(zhì)點上的力f。

 

解   以質(zhì)點m為研究對象，將運動方程微分兩次得

 

 

 

由牛頓第二定律得

作用在此質(zhì)點上的力在軸上的投影為

 

 

 

 

 

力f與矢徑r共線、反向，這表明，此質(zhì)點按給定的運動方程作橢圓運動。

4.3.2動量定理

一、質(zhì)點的動量

質(zhì)點的動量——設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點相對于某一慣性參考系以速度v作運動。質(zhì)點的動量等于質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積，即mv。動量是矢量，它的方向與質(zhì)點速度的方向一致。

二、質(zhì)點系的動量

質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動量的矢量和稱為質(zhì)點系的動量，即

 

 

 

 

三、質(zhì)心的動量

質(zhì)心——組成質(zhì)點系各質(zhì)點的質(zhì)量及其在空間的位置是不同的。表征質(zhì)點系中各質(zhì)點的質(zhì)量及其位置的分布情況的一個幾何點稱為質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心。

 

靜力學中求質(zhì)心的公式為

 

 

 

 

其坐標公式為

由于質(zhì)點系的動量是質(zhì)點系各質(zhì)點動量的矢量和，再由質(zhì)心的定義得

 

 

可見質(zhì)點系的動量（主矢）等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。寫成投影式為

 

 

 

 

 

 

 

例 求圖中各質(zhì)點系的動量。(1)質(zhì)量為m，質(zhì)心速度為 v_c的均質(zhì)圓盤在水平面上運動；(2)質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)桿繞o軸轉(zhuǎn)動的角速度為ω；(3)皮帶及皮帶輪的質(zhì)量都是均勻的。 

 

  解  (1)

 

(2)

 

(3)因為皮帶及皮帶輪的質(zhì)量均勻分布，系統(tǒng)在任何瞬時的形狀與質(zhì)量分布都是相同的，所以質(zhì)心的位置固定不動 即

                    故

4.3.3動量矩定理

一、動量矩

1.質(zhì)點的動量矩

質(zhì)點q的動量對于o點的矩，定義為質(zhì)點對點o的動量矩：

質(zhì)點動量mv在oxy平面的投影（mv)_xy 對于點o的矩，定義為質(zhì)點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩。

 

質(zhì)點對于o點的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。

正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同：對著軸看“順時針為負，逆時針為正”。

 

2.質(zhì)點系的動量矩

質(zhì)點系對點o動量矩等于各質(zhì)點對同一點o的動量矩的矢量和，或者稱為質(zhì)點系動量對點o的主矩，即

 

質(zhì)點系對某軸z的動量矩等于各質(zhì)點對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即

 

所以有

上式表明：質(zhì)點系對某點o的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質(zhì)點系對于該軸的動量矩。

二、動量矩定理

1.質(zhì)點的動量矩定理

 

對質(zhì)點動量矩求一次導數(shù)，得

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因為   得

上式表示質(zhì)點對任意一定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點的矩，稱為質(zhì)點的動量矩定理。

2．質(zhì)點系的動量矩定理

對于n個質(zhì)點，由質(zhì)點動量矩定理有

 

 

 

 

n個方程相加，有

 

 

 

 

 

由于

 

 

于是

上式表明質(zhì)點系對于某定點o的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有外力對于同一點的矩的矢量和（外力

對點o的主矩），稱為質(zhì)點系的動量矩定理。

4.3.4動能定理

一、質(zhì)點的動能定理

質(zhì)點運動微分方程的矢量形式為

 

 

 

兩邊同時乘以dr得：

 

 

 

由于           故

 

                或

 

積分得                      或

 

 

即在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用在質(zhì)點的力所作的功。

二、質(zhì)點系的動能定理

對于由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其中任意一質(zhì)點都符合動能定理，即

 

 

 

將所有的質(zhì)點動能方程相加得

                          

或

 

4.3.5達朗貝爾定理

一、質(zhì)點的達朗伯原理

設(shè)一質(zhì)點m質(zhì)量m， 受主動力f和約束力fn ，合力

 

 

 

若令

稱為質(zhì)點的慣性力

 

 

作用在質(zhì)點上的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點的達朗伯原理。

二、質(zhì)點系的達朗伯原理

對于由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其中任意一質(zhì)點i的達朗伯原理表示為

 

 

若將作用在質(zhì)點i 上的力分為外力合力 和內(nèi)力合力 ，則

 

 

將各質(zhì)點外力合力、內(nèi)力合力與虛加慣性力合力相加得

 

 

因為               

 

故：

 

 

 

4.3.6質(zhì)點的直線振動

1、質(zhì)點的自由振動

如圖所示，質(zhì)量為m的物塊掛在剛度系數(shù)為k的彈簧上，彈簧自然長度 l0,這就構(gòu)成了典型的單自由度系統(tǒng)，稱為彈簧——質(zhì)量系統(tǒng)。

（1）自由振動微分方程

由平衡條件∑fx=0,得：

mg=kδst

當物塊偏離距離x時，微分方程：

md²x=mg-k（δst+x）

即

md²x=-kx

（2）振幅、初相位和頻率

無阻尼的自由振動以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動，其振幅a和初相位角α分別為：

，