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5.2軸向拉伸與壓縮

【內容提要】

材料力學主要研究構件在外力作用下的變形、受力與破壞、失效的規律。為設計既安全可靠又經濟合理的構件，提供有關強度、剛度與穩定性分析的基本理論與方法。

【重點、難點】

重點考察基本概念，掌握截面法求軸力、作軸力圖的方法，截面上應力的計算。

【內容講解】

知識點一、軸向拉伸與壓縮的力學模型

軸向拉壓桿的力學模型如下圖5—2—1所示。

軸向拉伸與壓縮是桿件受力或變形的一種最基本的形式。

受力特征  作用于等直桿兩端的外力或其合力的作用線沿桿件的軸線，一對大小相等、矢向相反。

變形特征   受力后桿件沿其軸向方向均勻伸長(縮短)即桿件任意兩橫截面沿桿件軸向方向產生相對的平行移動。

拉壓桿  以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向受力桿。作用線沿桿件軸向的載荷，稱為軸向載荷

知識點二、軸力 軸力圖

㈠ 軸力

拉壓桿橫截面上的內力，其作用線必是與桿軸重合，稱為軸力。用n_表示。是拉壓桿橫截面上唯一的內力分量。

軸力n符號規定  拉力為正，壓力為負。

根據截面法和軸力n正負號規定，可得計算拉壓桿軸力n的法則：橫截面上的軸力n，在數值上等于該截面的左側(或右側)桿上所有軸向外力的代數和。

無論左側或右側桿上，方向背離截面的軸向外力均取正值：反之則取負值。

 (二)軸力圖

表示沿桿件軸向各橫截面上軸力變化規律的圖線。稱為軸力圖或n圖。以x軸為橫坐標平行于桿軸線，表示橫截面位置，以n軸為縱坐標，表示相應截面上的軸力值。

[例5－2－1]畫出圖5－2－3中直桿的軸力圖。

[解]  用截面1—1、2－2、3－3將桿截開，取脫離體如圖所示。各截面的軸力n₁、n₂、n₃均假定為拉力。由靜力平衡方程∑x=0分別求得：

其中負號表示軸力為壓力。

知識點三、拉壓桿橫截上、斜截面上的應力

(一) 拉壓桿橫截上的應力

分布規律  軸向拉壓桿橫截面上的應力垂直于截面，為正應力。且正應力在整個橫截面上均勻分布，如圖5－2－4所示。

 

正應力公式                           

式中  n為軸力(n)，a為橫截面面積(㎡)。 應力單位  n／㎡即pa。

(二)拉壓桿斜截面上的應力

斜截面上的應力均勻分布，如圖5－2－5，

其總應力及應力分量為

式中  α—由橫截面外法線轉至斜截面外法線的夾角，以逆時針轉動為正；—斜截面mm的截面積；—橫截面上的正應力。

拉應力為正，壓應力為負。　以其對脫離體內一點產生順時針力矩時為正，反之為負。

軸向拉壓桿中最大正應力發生在α＝０度的橫截面上，最小正應力發生在α＝90°的縱截面上，其值分別為

最大剪應力發生在α=±４5°斜截面上，最小剪應力發生在α=0度的橫截面和α=９0°的縱截面上，其值分別為

知識點四、材料拉壓時力學性能  強度條件

（一）許用應力

材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以安全系數求得。

塑性材料   

脆性材料

式中：σ_s為屈服極限，σ_b為抗拉強度，n_s，n_b為安全系數。　

（二）強度條件

構件的最大工作應力不得超過材料的許用應力。軸向拉壓桿的強度條件為

強度計算的三類問題：

強度校核：

截面設計a≥n_max/[σ]

確定許可荷載：n_max≤［σ］a

根據平衡條件，由n_max計算［p］。

知識點五、軸向拉壓變形軸向拉壓應變能

當桿件承受軸向載荷后，其軸向與橫向尺寸均發生變化，桿件沿軸向方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸向方向的變形稱為橫向變形。與此同時，桿件因變形而貯存的能量，稱為應變能。

(一)軸向變形與胡克定律

試驗表明：軸向拉伸時，軸向伸長，橫向尺寸減小；軸向壓縮時，軸向縮短，橫向尺寸增大，即橫向線應變與軸向線應變恒為異號。且在比例極限內，橫向線應變與軸向線應變成正比。比例系數用 表示，稱為泊松比。它是一個常數，其值隨材料而異，由試驗測定。
材料的彈性模量e、泊松比v與剪變模量g之間存在如下關系：

當已知任意兩個彈性常數，即可由上式確定第三個彈性常數，可見各向同性材料只有兩個獨立的彈性常數。

(三)軸向拉壓應變能

應變能在外力作用下，桿件發生變形，力在相應的位移上作功，同時在桿內貯存的能量稱為應變能。用w表示外力功，用u表示相應應變能。在線彈性范圍內，在靜載荷作用下，桿內應變能等于外力功

軸向拉壓應變能：

 

【例題1】等直桿承受軸向載荷如圖，其相應軸力圖為（   ）。

a. (a)     b. (b)     c. (c) d. (d)

答案:a

 

 

 

 

【例題5】在相距2m的ab兩點之間，水平地懸掛一根直徑d=1mm的鋼型在中點c逐漸增加荷載p。設鋼絲在斷裂前服從虎克定律，e=2x 1o⁵mpa，在伸長率達到0.5%時拉斷，則斷裂時鋼絲內的應力和c點的位移分別為(   )

 

 

 

答案：b

a．26.5     
b.  51     
c.  63.6      
d.  47.1

答案:b