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5.5截面的幾何性質

知識點:截面的幾何性質

【內容提要】本節主要了解靜矩和形心、極慣性矩和慣性積的概念，熟悉簡單圖形靜矩、形心、慣性矩和慣性積的計算，掌握其計算公式。掌握慣性矩和慣性積平行移軸公式的應用，熟練掌握有一對稱軸的組合截面慣性矩的計算方法。準確理解形心主軸和形心主慣性矩的概念，熟悉常見組合截面形心主慣性矩的計算步驟。

【重點、難點】重點掌握平行移軸公式的應用，形心主軸概念的理解和有一對稱軸的組合截面慣性矩的計算步驟和方法

5.5.1靜矩與形心

(一)定義  

設任意截面如圖1所示，其面積為a，  為截面所在平面內的任意直角坐標系。c為截面形心，其坐標為 yc ，xc  。則

圖1

(二)特征
1．靜矩是對一定的軸而言的，同一截面對不同軸的靜矩值不同。靜矩可能為正，可能為負，也可能為零。
2．靜矩的量綱為長度的三次方．即  。單位為  或  。 

3．通過截面形心的坐標稱為形心軸。截面對任一形心軸的靜矩為零；反之，若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必通過截面之形心。

4．若截面有對稱軸，則截面對于對稱軸的靜矩必為零，截面的形心一定在該對稱軸上。

5．組合截面(由若干簡單截面或標準型材截面所組成)對某一軸的靜矩，等于其組成部分對同一軸的靜矩之代數和(圖2)，即

圖2

5.5.2  慣性矩  慣性積

(一)定義  

設任意截面如圖3所示，其面積為a，    為截面所在平面內任意直角坐標系。則

圖3

(二)特征    

1．慣性矩是對某一坐標軸而言的．慣性積是對某一對坐標軸而言的，同一截面對不同的坐標軸，其數值不同。極慣性矩是對點(稱為極點)而言的，同一截面對不同的點，其值也不相同。慣性矩。極慣性矩恒為正值，而慣性積可能為正，可能為負，也可能為零。

2．慣性矩、慣性積、極慣性矩的量綱均為長度的四次方，即。單位為m⁴ 或mm⁴ 

3．對某一點的極慣性矩恒等于以該點為原點的任一對直角坐標軸的慣性矩之和。即

4．慣性積是對某一對直角坐標的．若該對坐標中有一軸為截面的對稱軸，則截面對這一對坐標軸的慣性積必為零；但截面對某一對坐標軸的慣性積為零，則這對坐標中不一定有截面的對稱軸。  

5．組合截面對某一軸的慣性矩等于其組成部分對同一軸的慣性矩之和。即

 

組合截面對某一對坐標軸的慣性積，等于其組成部分對同一對坐標軸的慣性積之和，即

 

組合截面對某一點的極慣性矩，等于其組成部分對同一點極慣性矩之和，即

三、慣性半徑

(一)定義設任意截面，其面積為a，則

截面對z軸的慣件半徑

截面對y軸的慣性半徑

(二)特征

1．慣性半徑是對某一定坐標軸而言的。

2．慣性半徑恒為正值。

3．慣性半徑的量綱為長度一次方，即l，單位為m 或mm

四、慣性矩和慣性積的平行移軸公式

分述如下： 截面對于任一軸的慣性矩．等于對其平行形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。截面對于任一直角坐標軸的慣性積．等于該截面對于平行形心坐標慣性積加上截面面積與其形心的坐標之乘積。 

常用截面幾何性質如表下表所示

5.5.3  形心主慣性軸與形心主慣性矩

(二)特征

1．通過截面形心c，至少具有一對形心主軸

2．若截面只有一根對稱軸，則該軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過形心，并與上述對稱軸垂直的軸。

3．若截面有兩根對稱軸，則該兩根軸即為形心主軸。
   

 4．若截面有三根(或以上)對稱軸時，則通過形心的任一根軸(所有軸)均為形心主軸，且形心主慣矩均相等。

 5．若截面沒有對稱軸，則可由定性判定法，即根據繞形心轉動軸，轉至截面積最靠近分布某一軸時，截面對該軸的慣性矩最小()，此軸即為形心主軸之一，另一根通過形心與之垂直的軸為另一根慣性矩最大()的形心主軸。

6．形心主慣性矩是截面對通過同一形心c點，所有軸的慣性矩中的最大值()和最小值()。
截面對于通過同一形心c點的任意一對直角坐標軸的兩個慣性矩之和恒為常數，即 

7．若截面對通過形心c點的兩主慣性矩相等，則通過形心c點的所有軸均為形心主軸，且所有形心主慣性矩均相等。