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5.6  彎曲內力

【內容提要】①彎曲內力部分應掌握對稱截面梁平面彎曲的特征，梁的內力的產生，彎矩、剪力的正負號規定，作剪力圖和彎矩圖的方法；掌握 、v、m之間的微分關系，熟練掌握各種受力情況下v、m圖的特征，掌握用簡便法計算指定截面上v、m的方法。

②彎曲應力部分應明確彎曲正應力公式的應用條件，掌握橫截面上正應力的分布規律，掌握中性軸為對稱軸時或為非對稱軸時正應力強度的計算。熟悉常見截面剪應力的分布規律，熟悉剪應力公式的應用，掌握剪應力強度條件的應用。了解梁的合理截面形狀，熟悉提高梁強度的措施。了解彎曲中心的概念，熟悉常見開口薄壁桿件的彎曲中心。

③彎曲變形部分應熟悉彎矩與曲率的關系、確定梁的撓度方程和轉角方程的條件即撓曲線近似微分方程、邊界條件與連續條件。掌握積分法求梁的位移的步驟與方法，正確地寫出梁的邊界條件與連續條件，掌握求梁的位移的疊加法。熟悉梁的彎曲應變能的計算和應用卡氏第二定理求梁的位移。

【重點、難點】彎曲內力部分要求能熟練的作 圖；彎曲應力部分重點掌握正應力和剪應力最大的危險截面的確定，梁受拉側和受壓側的判斷，焊接工字型截面梁三類危險點的確定；彎曲變形部分重點是給定梁的邊界條件和連續條件的正確寫法和用疊加法求梁的位移的靈活運用。

5.6.1  平面彎曲的概念

【內容講解】

彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。

彎曲變形特征  任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對轉動，同時桿的軸線也彎成曲線。

平面彎曲  荷載作用面(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲。

產生平面彎曲的條件：

(一)梁具有縱對稱面時，只要外力(橫向力或外力偶)都作用在此縱對稱面內。

(二)非對稱截面梁

純彎曲時，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面(即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構成的平面)平行的平面內。

橫力彎曲時，橫向力必須通過橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內。

5.6.2  梁橫截面上的內力分量——剪力與彎矩

（一）剪力與彎矩

剪力  梁橫截面上切向分布內力的合力，稱為剪力，以v表示。

彎矩  梁橫截面上法向分布內力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以m表示。

剪力與彎矩的符號  考慮梁微段dx，使右側截面對左側截面產生向下相對錯動的剪力為正，反之為負；使微段產生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負。

由截面法可知：

橫截面上的剪力，其數值等于該截面左側(或右側)梁上所有外力在橫截面方向的投影代數和；且左側梁上向上的外力或右側梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負剪力。

橫截面上的彎矩，其數值等于該截面左側(或右側)梁上所有外力對該截面形心的力矩代數和；且向上外力均引起正彎矩，左側梁上順時針轉向的外力偶及右側梁上逆時針轉向的外力偶引起正彎矩，反之則產生負彎矩。

（二）剪力方程與彎矩方程

剪力方程  表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數，稱為剪力方程，表示為

             v=v(x)

彎矩方程  表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數，稱為彎矩方程，表示為

             m=m(x)

（三）剪力圖與彎矩圖

剪力圖  表示沿桿軸各橫截面剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。

彎矩圖  表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。

5.6.3  荷載集度與剪力、彎矩間的關系及應用

（一）q、v、m間的微分關系

設荷載集度q(x)為截面位置x的連續函數、且規定以向上為正，則有

（二）應用

1．校核剪力圖、彎矩圖的正確性

根據一階導數的幾何意義，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力圖上某點的切線斜率等于梁上相應點處的荷載集度，彎矩圖上某點的切線斜率等于梁上相應截面上的剪力。

由式(5—6—3)的幾何意義可根據m(x)對x二階導數的正負，定出m(x)圖的凹向；若q(x)>0，則m圖為上凸的曲線；若q(x)<0，則m圖為下凸的曲線。若q(x)=0，則m圖為直線。

2．利用微分關系作剪力圖和彎矩圖

由式(5—6—1)可得

即截面掃上的剪力與截面a上的剪力之差等于梁上ab間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必須無集中外力作用。

同理由式(5－6—2)可得

即截b上的彎矩與截面a上的彎矩之差等于梁上ab間剪力圖的面積，但兩截面之間必須無集中力偶作用。

于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根據梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等，而由式(5—6—4)、  (5—6—5)確定控制截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。

特殊截面上的剪力、彎矩值

(一)在集中力作用的截面處，v圖有突變，m圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向一致。

 (二)在集中力偶作用處，v圖無變化，但m圖有突變。其突變值等于該力偶之矩，突變方向看該力偶對后半段梁的影響，即該力偶對后半段梁為產生正彎矩，則向正方向突變，否則反之。

現將上節和本節中有關彎矩、剪力與荷載間的關系以及剪力圖和彎矩圖的一些特征匯總整理為表5－6－1，以供參考。