5.7彎曲應力
一、彎曲正應力 正應力強度條件
（一）純彎曲
梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲，稱為純彎曲。
（二）中性層與中性軸
中性層 桿件彎曲變形時既不伸長也不縮短的一層。
中性軸 中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應力為零的各點的連線。
中性軸位置 當桿件發生平面彎曲，且處于線彈性范圍時，中性軸通過橫截面形心，且垂直于荷載作用平面。
中性層的曲率 桿件發生平面彎曲時，中性層(或桿軸)的曲率與彎矩間的關系為
式中 ρ為變形后中性層(或桿軸)的曲率半徑；ei2為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面的 中性軸。
（三）平面彎曲桿件橫截面上的正應力
分布規律 正應力的大小與該點至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側為拉應力， 另一側為壓應力，如圖5—7—1(a)。
式中 m為所求截面的彎矩，iz為截面對中性軸的慣性矩，wz為抗彎截面系數。 wz是一個只與橫截面的形狀及尺寸有關的幾何量。對于矩形截面：
對于圓形截面：
其余wz按式wz＝iz/ymax計算。
討論：1.公式適用于線彈性范圍、且材料在拉伸和壓縮時彈性模量相等情況。
2.在純彎曲時，橫截面在彎曲變形后保持平面，公式為 精確解；橫力彎曲時，由于剪應力的存在，橫截面發生翹曲，但精確研究指出，工程實際中的梁，只要跨度與截面高度之比l／h>5，純彎曲時的正應力公式仍適用。
（四）梁的正應力強度條件
強度條件 梁的最大工作正應力不得超過材料的許用正應力，即
注意，當梁內σtmax≠σcmax，且材料的[σt]≠[σc]時，梁的拉伸與壓縮強度均應得到滿足。
二、彎曲剪應力 剪應力強度條件
（一）矩形截面梁的剪應力
兩個假設：
1．剪應力方向與截面的側邊平行。
2．沿截面寬度剪應力均勻分布(見圖5—7—2)。
計算公式
式中 v為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，iz為整個橫截面對中性軸的慣性 矩，sz*為橫截面上距中性軸為y處橫線一側的部分截面對中性軸的靜矩。
最大剪應力 發生在中性軸處
（二）其他常用截面圖形的最大剪應力
工字型截面
式中 d為腹板厚度，
工字型鋼中，iz/ 可查型鋼表。
圓形截面
環形截面
最大剪應力均發生在中性軸上。
（三）剪應力強度條件
梁的最大工作剪應力不得超過材料的許用剪應力，即
式中 vmax為全梁的最大剪力； 為中性軸一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩；b為 橫截面在中性軸處的寬度；iz為整個橫截面對中性軸的慣矩。
三、梁的合理截面
梁的強度通常是由橫截面上的正應力控制的。由彎曲正應力強度條件 ，可知，在截面積a一定的條件下，截面圖形的抗彎截面系數愈大，梁的承載能力就愈大，故截面就愈合理。因此就wz／a而言，對工字形、矩形和圓形三種形狀的截面，工字形最為合理，矩形次之，圓形最差。
此外對于[σt]=[σc]的塑性材料，一般采用對稱于中性軸的截面，使截面上、下邊緣的最大拉應力和最大壓應力同時達到許用應力。對于[σt]≠[σc]的脆性材料，一般采用不對稱于中性軸的截面如t形、門形等，使最大拉應力σtmax和最大壓應力σcmax一同時達到[σt] 和[σc]，如圖5—7—3所示。
四、彎曲中心的概念
橫向力作用下，梁分別在兩個形心主慣性平面xy和xz內彎曲時，橫截面上剪力vy和vz作用線的交點，稱為截面的彎曲中心，也稱為剪切中心。
當梁上的橫向力不通過截面的彎曲中心時，梁除了發生彎曲變形外還要發生扭轉變形。
彎曲中心是截面幾何性質之一，僅與截面的幾何形狀有關，而與荷載大小和材料性質無關。
若截面具有一對稱軸，則彎曲中心必在截面的對稱軸上。若截面具有兩個對稱軸，其交點即為彎曲中心。t形、l形等狹長矩形組成的截面，兩個狹長矩形中線的交點即為截 面的彎曲中心。
[例2] 圖5-7-5所示兩梁材料相同，當兩梁各對應截面轉角相等時，試問兩梁橫截面上最大正應力之比為多少?