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5.8彎曲變形

知識點一:撓曲線的微分方程(一般知識點)

在外載（橫向外力或力偶）作用下，梁的軸線由直線變為曲線，彎曲后的軸線稱梁的撓曲線

在對稱彎曲條件下，撓曲線是一條連續、光滑的平面曲線

彎曲變形時，梁軸線上的每一點即存在沿y方向的位移，也存在沿x方向的位移（由于軸線處在中性層，軸線不可伸長）

在小變形的假定下，軸線上的每一點沿x軸方向的位移很小，可以忽略不計，而只考慮沿y方向的位移

軸線上的每一點沿y軸方向的位移稱為梁的撓度，即橫截面形心在垂直于軸線方向的位移稱為梁的撓度。

一般用y = w(x)表示，并且以向上為正

橫截面相對于其原位置所轉過的角度稱為梁的截面轉角。一般用(x)表示截面轉角，并且以逆時針為正

忽略橫截面的剪切變形，變形后的橫截面仍保持平面，并且與撓曲線垂直（平截面假設）。則轉角等于撓曲線在該點的切線與x軸的夾角¢

剛度條件：

撓度 w 和轉角是梁彎曲變形的兩個基本量

繞曲線的微分方程：

根據小變形假設：

由于繞曲線極其平坦，|w´|=|| <<1，可近似地認為

梁撓曲線的近似微分方程： 

      

等截面直梁撓曲線微分方程的幾種形式

1、  已知梁橫截面上的彎矩m(x)：

2、  已知梁橫截面上的剪力f_s(x)：

3、  已知梁上的橫向載荷q(x)：

知識點二:用積分法求彎曲變形(掌握)

邊界條件：

1、  在固定端，撓度和轉角都等于0

2、  在鉸支座上，撓度等于0

3、  在彎曲變形的對稱點上，轉角等于0

連續性條件：

在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉角。

例：

邊界條件：

連續條件：

 

最大撓度：當，即=0時，w為極值

最大轉角：，即m=0時，為極值

知識點三: 用疊加法求彎曲變形(了解)

彎矩，剪力和載荷集度均與撓度無關，僅為坐標 x 的函數

撓曲線方程為線性微分方程，同時，通常邊界條件關于撓度也是線性的。因此，從數學上看為線性微分方程邊值（初值）問題，疊加原理成立

疊加原理：在若干載荷作用下，梁上任一截面的撓度、轉角等于各個載荷單獨作用下該截面的撓度、轉角之和

剪力由支座承受，不會引起梁的彎曲

例：圖示的等截面外伸梁，ab段的抗彎剛度為ei₁， bc段的抗彎剛度為ei₂，在bc段有均布載荷q的作用，求截面c的轉角和撓度

對問題 i，由于梁ab段內的剪力和彎矩為零，所以，ab段不發生變形

而 bc段相當于懸臂梁，故問題 i 可等價于問題 i´  

利用懸臂梁的結論，可得梁截面c處的撓度w_1c和轉角q_1c分別為

對問題ii ，剪力 qa 由支座 b承受，不會引起梁的彎曲，僅有彎矩 qa²/2 的作用

由于梁bc不受力，僅考慮簡支梁ab的彎曲變形，梁截面b處的轉角為q_b為

利用連續條件，梁 bc 為直線，梁截面c處的撓度w_2c和轉角q_2c分別為

（注意疊加法求撓度時，這段連接處轉角乘上長度便知端面撓度，但要取反值：畫圖便知）

因此，原問題截面c處的總撓度和轉角分別為

知識點四:簡單超靜定梁(了解)

例：如圖所示的梁ab，其抗彎剛度為ei，試求梁的支座反力

解除固定端 a，b兩處的所有約束。此問題共有六個未知的約束反力。三次超靜定問題

利用對稱性，可知

利用對稱性，問題簡化為一次超靜定，未知量為彎矩 m_a ( = m_b )

利用對稱性，可考慮原問題的一半，由對稱性知，梁中間截面 e 只存在彎矩 m_e

由梁的基本變形結論知，在載荷 f 單獨作用下，截面 e 處的轉角為

在彎矩 m_e單獨作用下，截面e處的轉角為

根據疊加原理，梁截面 e 處的轉角為（變形協調條件）

固定端 a 處的支反力偶為

利用反對稱性，求解如下梁的彎曲變形問題