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6.2流體動力學基礎

知識點一:流場的基本概念

一、跡線

某一質點在某一時段內的運動軌跡線。

圖中煙火的軌跡為跡線。 

二、流線

1、流線的定義

表示某一瞬時流體各點流動趨勢的曲線，曲線上任一點的切線方向與該點的流速方向重合。

如圖為流線譜中顯示的流線形狀。  

2、流線的作法

在流場中任取一點，繪出某時刻通過該點的流體質點的流速矢量u₁，再畫出距1點很近的2點在同一時刻通過該處的流體質點的流速矢量u₂…，如此繼續下去，得一折線1234 …，若各點無限接近，其極限就是某時刻的流線。

3、流線的性質

a.同一時刻的不同流線，不能相交。

因為根據流線定義，在交點的液體質點的流速向量應同時與這兩條流線相切，即一個質點不可能同時有兩個速度向量。

b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。

因為流體是連續介質，各運動要素是空間的連續函數。

c.流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。?。

因為對不可壓縮流體，元流的流速與其過水斷面面積成反比。

4、流線的方程

在流線上某點取微元長度dl（不代表位移），dl在各坐標軸上的投影分別為dx、dy、dz，則：      

或          流線的微分方程

跡線與流線的比較：

概念	定          義	備           注
流 線	流線是表示流體流動趨勢的一條曲線，在同一瞬時線上各質點的速度向量都與其相切，它描述了流場中不同質點在同一時刻的運動情況。	流線方程為：     時間t為參變量。
跡 線	跡線是指某一質點在某一時段內的運動軌跡，它描述流場中同一質點在不同時刻的運動情況。	跡線方程為： 式中時間t為自變量。

三、恒定流和非恒定流

1、恒定流

流體質點的運動要素只是坐標的函數，與時間無關。――恒定流動

過流場中某固定點所作的流線，不隨時間而改變——流線與跡線重合

2、非恒定流

流體質點的運動要素，既是坐標的函數，又是時間的函數。――非恒定流動

質點的速度、壓強、加速度中至少有一個隨時間而變化。

跡線與流線不一定重合

注意：

在定常流動情況下，流線的位置不隨時間而變，且與跡線重合。

在非定常流動情況下，流線的位置隨時間而變；流線與跡線不重合。

四、流管、流束、總流

流管：在流場中取任一封閉曲線（不是流線），通過該封閉曲線的每一點作流線，這些流線所組成的管狀空間。

管內外的流體質點不能交流。

流束：流管中的流體。

微元流束：流管的橫截面積為微元面積時的流束。

總流：由無限多微元流束所組成的總的流束。

五、過水（流）斷面

與某一流束中各條流線相垂直的截面，稱為此流束的過水斷面。

即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流動方向的橫斷面，如圖1-1，2-2斷面。

六、流速

  （1）點速u：某一空間位置處的流體質點的速度。

  （2）均速v：同一過水斷面上，各點流速u對斷面a的算術平均值。

   微元流束的過水斷面上，可以中心處的流速作為各點速度的平均值。

七、流量  q

   單位時間內通過某流束過水斷面的流體體積。   米³/秒，升/秒

   微元流束      dq=uda

   總流          q=∫_qdq＝∫_auda

               

知識點二：連續性方程

1、微元流束的連續性方程

微元流束上兩個過水斷面da₁、da₂，相應的速度分別為u₁、u₂，密度分別為ρ₁、ρ₂；dt時間內，經da₁流入的質量為dm₁＝ρ₁u₁da₁dt，經da₂流出的質量為dm₂＝ρ₂u₂da₂dt，

對定常流動，根據質量守恒定律：      

ρ₁u₁da₁dt＝ρ₂u₂da₂dt   →  ρ₁u₁da₁＝ρ₂u₂da₂

   對不可壓縮流體ρ₁＝ρ₂ ，       u₁da₁＝u₂da₂   

得： dq₁=dq₂       

不可壓縮流體定常流動微元流束的連續性方程

   意義：在同一時間內通過微元流束上任一過水斷面的流量相等。

         ——流束段內的流體體積（質量）保持不變。

2、總流連續性方程

將ρ₁u₁da₁＝ρ₂u₂da₂進行積分：   ∫_a1ρ₁u₁da₁＝∫_a2ρ₂u₂da₂

根據 ，   得：ρ_1mv₁a₁＝ρ_2mv₂a₂      

ρ_1m、ρ_2m——斷面1、2上流體的平均密度。

ρ_1mq₁＝ρ_2mq₂             總流連續性方程

對不可壓縮流體       q₁=q₂          或  

物理意義：對于保證連續流動的不可壓縮流體，過水斷面面積與斷面平均流速成反比，即流線密集的地方流速大 ，而流線疏展的地方流速小。

問題：

1、一變直徑管段，a斷面直徑是b斷面直徑的2倍，則b斷面的流速是a斷面流速的4倍。      對

2、變直徑管的直徑d₁=320mm，d₂=160mm，流速υ₁=1.5m/s，υ₂為：

a.3m/s；  b.4m/s； c.6m/s；   d.9m/s。   c.

知識點三：恒定總流能量方程

一、不可壓縮無粘性流體伯努利方程

      

意義：無粘性流體沿流線運動時，其有關值的總和是沿流向不變的。

二、不可壓縮有粘性流體伯努利方程

         

意義：粘性流體沿流線運動時，其有關值的總和是沿流向逐漸減少的。

各項的能量意義與幾何意義：

	能量意義	幾何意義
z	比位能—單位重量流體流經給定點時的位能	位置水頭（位頭）—流體質點流經給定點時所具有的位置高度
p/γ	比壓能—單位重量流體流經給定點時的壓能	壓強水頭（壓頭）—流體質點流經給定點時的壓強高度
u2/2g	比動能—單位重量流體流經給定點時的動能	速度水頭（速度頭）—流體質點流經給定點時，因具有速度u，可向上自由噴射而能夠到達的高度
h'l	能量損失—單位重量流體流動過程中損耗的機械能	損失水頭

三、伯努利方程的能量意義：

（1）對無粘性流體   ，總比能  e₁=e₂

 單位重量無粘性流體沿流線（或微元流束）從位置1到位置2時：各項能量可互相轉化，總和保持不變。

（2）對粘性流體  ,總比能 e₁=e₂+△e

單位重量粘性流體沿流線（或微元流束）從位置1到位置2時：各項能量可互相轉化，總機械能也有損失。

伯努利方程的幾何意義：

單位重量無粘性流體沿流線（或微元流束）從位置1到位置2時：各項水頭可互相轉化，總和保持不變。    總水頭 h₁=h₂

單位重量粘性流體沿流線（或微元流束）從位置1到位置2時：各項水頭不但可以互相轉化，其總和也必然沿流向降低。 總水頭  h₁=h₂+△h

伯努利方程的圖解—水頭線

水頭線：沿程水頭的變化曲線

總水頭線：總水頭h頂點的連線。 對應的變化曲線。

測壓管水頭線（靜壓水頭線）：壓強水頭頂點的連線。對應的變化曲線。

對無粘性流體：h＝常數，總水頭線為水平線。

測壓管水頭線為隨過水斷面改變而起伏的曲線。

對粘性流體：h≠常數，h₁=h₂+h^'_l，總水頭線為沿流向向下傾斜的曲線。

測壓管水頭線為隨過水斷面改變而起伏的曲線。

注意：1.無粘性流體流動的總水頭線為水平線； 

2.粘性流體流動的總水頭線恒為下降曲線；

3.測壓管水頭線可升、可降、可水平。

4.總水頭線和測壓管水頭線之間的距離為相應段的速度水頭。流體沿水頭的變化情況:——水力坡度

四、總流伯努利方程應用條件：

（1）定常流動；

（2）不可壓縮流體；

（3）質量力只有重力；

（4）所選取的兩過水斷面必須是緩變流斷面，但兩過水斷面間可以是急變流。

（5）總流的流量沿程不變。

（6）兩過水斷面間除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。

（7）式中各項均為單位重量流體的平均能（比能）。

五、列伯努利方程解題： 

注意與連續性方程的聯合使用。

例1某工廠自高位水池引出一條供水管路ab如圖3-31所示。已知：流量q＝0.034米³/秒；管徑d＝15厘米；壓力表讀數p_b＝4.9牛/厘米²；高度h＝20米。問水流在管路ab中損失了若干水頭？

解：選取水平基準面o－o，過水斷面1－1、2－2。設單位重量的水自斷面1－1沿管路ab流到b 點，則可列出伯努利方程：

因為：z₁＝h＝20米，z₂＝0，，

v₂＝q/a＝1.92米/秒

取α₁＝α₂＝1，v₁＝0

則：20 + 0 + 0 ＝ 0 + 5 + 1.92²/19.6 + h_l

故 h_l＝14.812（米）

例2：水深1.5m、水平截面積為3m×3m的水箱，箱底接一直徑為200mm，長為2m的豎直管，在水箱進水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點2的壓強。

解： 根據題意和圖示，水流為恒定流；水箱表面，管子出口，管中點2所在斷面，都是緩變流斷面；符合總流伯努利方程應用條件。水流不可壓縮，只受重力作用。  

基準面o-o取在管子出口斷面3-3上，取α₂＝α₃＝1，寫斷面2-2和3-3的總流伯努利方程：

     

采用相對壓強，則p₃＝0，同時v₂=v₃，

所以     p₂＝-9800 pa

其真空值為9800 pa 。  上式說明點2壓強小于大氣壓強，其真空度為1m水柱，或絕對壓強相當于10-1=9m 水柱。

知識點四：恒定總流的動量方程及其應用

    一、動量方程

動量定理：質量系的動量()對時間(t)的變化率，等于作用于該質點系的所有外力之矢量和，即：，如果以表示動量，則： 或

應用于不可壓縮流體的定常流動中，對于過水斷面1－1、2－2間的流體，可得：

， 式中：α₀₁、α₀₂—動量校正系數，一般取1。

   不可壓縮流體的定常流動總流的動量方程

為作用于流體上所有外力（流束段1－2的重量、兩過水斷面上壓力的合矢量、其它邊界上受到的表面壓力）的合力。

即：  

將各量投影到直角坐標軸上，得：

適用范圍： 

（1）粘性流體、非粘性流體的不可壓縮定常流動。             

（2）選擇的兩個過水斷面應是緩變流過水斷面，而過程可以不是緩變流。

（3）質量力只有重力             

（4）沿程流量不發生變化；

二、動量方程的應用

例題：如圖所示，一個水平放置的水管在某處出現θ＝30^o的轉彎，管徑也從d₁＝0.3m漸變為d₂＝0.2m，當流量為q＝0.1m³/s時，測得大口徑管段中心的表壓為2.94×10⁴pa，試求為了固定彎管所需的外力。

【解】根據題意，圖示的截面1－1的表壓p₁’＝p₁－p_a＝2.94×10⁴pa，截面2－2的表壓p₂’可根據伯努利方程求出。而固定彎管所需的外力，則可以利用總流的動量方程求出。

取如圖所示的分離體，截面1－1和2－2的平均流速分別為

v₁=q/a₁=1.4147  m/s     v₂=q/a₂=3.1831  m/s

彎管水平放置，兩截面中心高程相同，故

即 

總流的動量方程是              

由于彎管水平放置，因此我們只求水平面上的力。對于圖示的分離體，x、y方向的動量方程是

     

    

代入數據，得： f_x＝1254 n ，  f_y＝557  n

   

α＝arc tgf_y/f_x=24^○

水流對彎管的作用力為1372牛，即固定彎管需1372牛的外力。