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5.2軸向拉伸與壓縮

【內(nèi)容提要】

材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的變形、受力與破壞、失效的規(guī)律。為設(shè)計(jì)既安全可靠又經(jīng)濟(jì)合理的構(gòu)件，提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)考察基本概念，掌握截面法求軸力、作軸力圖的方法，截面上應(yīng)力的計(jì)算。

【內(nèi)容講解】

知識(shí)點(diǎn)一、軸向拉伸與壓縮的力學(xué)模型

軸向拉壓桿的力學(xué)模型如下圖5—2—1所示。

軸向拉伸與壓縮是桿件受力或變形的一種最基本的形式。

受力特征作用于等直桿兩端的外力或其合力的作用線沿桿件的軸線，一對(duì)大小相等、矢向相反。

變形特征受力后桿件沿其軸向方向均勻伸長(zhǎng)(縮短)即桿件任意兩橫截面沿桿件軸向方向產(chǎn)生相對(duì)的平行移動(dòng)。

拉壓桿以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向受力桿。作用線沿桿件軸向的載荷，稱為軸向載荷

知識(shí)點(diǎn)二、軸力軸力圖

㈠軸力

拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必是與桿軸重合，稱為軸力。用n_表示。是拉壓桿橫截面上唯一的內(nèi)力分量。

軸力n符號(hào)規(guī)定拉力為正，壓力為負(fù)。

根據(jù)截面法和軸力n正負(fù)號(hào)規(guī)定，可得計(jì)算拉壓桿軸力n的法則：橫截面上的軸力n，在數(shù)值上等于該截面的左側(cè)(或右側(cè))桿上所有軸向外力的代數(shù)和。

無(wú)論左側(cè)或右側(cè)桿上，方向背離截面的軸向外力均取正值：反之則取負(fù)值。

(二)軸力圖

表示沿桿件軸向各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線。稱為軸力圖或n圖。以x軸為橫坐標(biāo)平行于桿軸線，表示橫截面位置，以n軸為縱坐標(biāo)，表示相應(yīng)截面上的軸力值。

[例5－2－1]畫(huà)出圖5－2－3中直桿的軸力圖。

[解] 用截面1—1、2－2、3－3將桿截開(kāi)，取脫離體如圖所示。各截面的軸力n₁、n₂、n₃均假定為拉力。由靜力平衡方程∑x=0分別求得：

其中負(fù)號(hào)表示軸力為壓力。

知識(shí)點(diǎn)三、拉壓桿橫截上、斜截面上的應(yīng)力

(一) 拉壓桿橫截上的應(yīng)力

分布規(guī)律軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力垂直于截面，為正應(yīng)力。且正應(yīng)力在整個(gè)橫截面上均勻分布，如圖5－2－4所示。

正應(yīng)力公式

式中 n為軸力(n)，a為橫截面面積(㎡)。應(yīng)力單位 n／㎡即pa。

(二)拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

斜截面上的應(yīng)力均勻分布，如圖5－2－5，

其總應(yīng)力及應(yīng)力分量為

式中 α—由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面外法線的夾角，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；—斜截面mm的截面積；—橫截面上的正應(yīng)力。

拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。　以其對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩時(shí)為正，反之為負(fù)。

軸向拉壓桿中最大正應(yīng)力發(fā)生在α＝０度的橫截面上，最小正應(yīng)力發(fā)生在α＝90°的縱截面上，其值分別為

最大剪應(yīng)力發(fā)生在α=±４5°斜截面上，最小剪應(yīng)力發(fā)生在α=0度的橫截面和α=９0°的縱截面上，其值分別為

知識(shí)點(diǎn)四、材料拉壓時(shí)力學(xué)性能強(qiáng)度條件

（一）許用應(yīng)力

材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。

塑性材料

脆性材料

式中：σ_s為屈服極限，σ_b為抗拉強(qiáng)度，n_s，n_b為安全系數(shù)。　

（二）強(qiáng)度條件

構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件為

強(qiáng)度計(jì)算的三類問(wèn)題：

強(qiáng)度校核：

截面設(shè)計(jì)a≥n_max/[σ]

確定許可荷載：n_max≤［σ］a

根據(jù)平衡條件，由n_max計(jì)算［p］。

知識(shí)點(diǎn)五、軸向拉壓變形軸向拉壓應(yīng)變能

當(dāng)桿件承受軸向載荷后，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化，桿件沿軸向方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸向方向的變形稱為橫向變形。與此同時(shí)，桿件因變形而貯存的能量，稱為應(yīng)變能。

(一)軸向變形與胡克定律

試驗(yàn)表明：軸向拉伸時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向尺寸減小；軸向壓縮時(shí)，軸向縮短，橫向尺寸增大，即橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變恒為異號(hào)。且在比例極限內(nèi)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變成正比。比例系數(shù)用表示，稱為泊松比。它是一個(gè)常數(shù)，其值隨材料而異，由試驗(yàn)測(cè)定。
材料的彈性模量e、泊松比v與剪變模量g之間存在如下關(guān)系：

當(dāng)已知任意兩個(gè)彈性常數(shù)，即可由上式確定第三個(gè)彈性常數(shù)，可見(jiàn)各向同性材料只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。

(三)軸向拉壓應(yīng)變能

應(yīng)變能在外力作用下，桿件發(fā)生變形，力在相應(yīng)的位移上作功，同時(shí)在桿內(nèi)貯存的能量稱為應(yīng)變能。用w表示外力功，用u表示相應(yīng)應(yīng)變能。在線彈性范圍內(nèi)，在靜載荷作用下，桿內(nèi)應(yīng)變能等于外力功

軸向拉壓應(yīng)變能：

200561817456401

【例題1】等直桿承受軸向載荷如圖，其相應(yīng)軸力圖為（）。

a. (a) b. (b) c. (c) d. (d)

答案:a 200561817710124

2005618171334889

2005618171442809

【例題5】在相距2m的ab兩點(diǎn)之間，水平地懸掛一根直徑d=1mm的鋼型在中點(diǎn)c逐漸增加荷載p。設(shè)鋼絲在斷裂前服從虎克定律，e=2x 1o⁵mpa，在伸長(zhǎng)率達(dá)到0.5%時(shí)拉斷，則斷裂時(shí)鋼絲內(nèi)的應(yīng)力和c點(diǎn)的位移分別為( )