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5.8彎曲變形

知識(shí)點(diǎn)一:撓曲線的微分方程(一般知識(shí)點(diǎn))

在外載（橫向外力或力偶）作用下，梁的軸線由直線變?yōu)榍€，彎曲后的軸線稱梁的撓曲線

在對(duì)稱彎曲條件下，撓曲線是一條連續(xù)、光滑的平面曲線

彎曲變形時(shí)，梁軸線上的每一點(diǎn)即存在沿y方向的位移，也存在沿x方向的位移（由于軸線處在中性層，軸線不可伸長(zhǎng)）

在小變形的假定下，軸線上的每一點(diǎn)沿x軸方向的位移很小，可以忽略不計(jì)，而只考慮沿y方向的位移

軸線上的每一點(diǎn)沿y軸方向的位移稱為梁的撓度，即橫截面形心在垂直于軸線方向的位移稱為梁的撓度。

一般用y = w(x)表示，并且以向上為正

橫截面相對(duì)于其原位置所轉(zhuǎn)過的角度稱為梁的截面轉(zhuǎn)角。一般用(x)表示截面轉(zhuǎn)角，并且以逆時(shí)針為正

忽略橫截面的剪切變形，變形后的橫截面仍保持平面，并且與撓曲線垂直（平截面假設(shè)）。則轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該點(diǎn)的切線與x軸的夾角¢

剛度條件：

撓度 w 和轉(zhuǎn)角是梁彎曲變形的兩個(gè)基本量

繞曲線的微分方程：

根據(jù)小變形假設(shè)：

由于繞曲線極其平坦，|w´|=|| <<1，可近似地認(rèn)為

梁撓曲線的近似微分方程： 

      

等截面直梁撓曲線微分方程的幾種形式

1、  已知梁橫截面上的彎矩m(x)：

2、  已知梁橫截面上的剪力fs(x)：

3、  已知梁上的橫向載荷q(x)：

知識(shí)點(diǎn)二:用積分法求彎曲變形(掌握)

邊界條件：

1、  在固定端，撓度和轉(zhuǎn)角都等于0

2、  在鉸支座上，撓度等于0

3、  在彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)上，轉(zhuǎn)角等于0

連續(xù)性條件：

在撓曲線的任意點(diǎn)上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。

例：

邊界條件：

連續(xù)條件：

 

最大撓度：當(dāng)，即=0時(shí)，w為極值

最大轉(zhuǎn)角：，即m=0時(shí)，為極值

知識(shí)點(diǎn)三: 用疊加法求彎曲變形(了解)

彎矩，剪力和載荷集度均與撓度無(wú)關(guān)，僅為坐標(biāo) x 的函數(shù)

撓曲線方程為線性微分方程，同時(shí)，通常邊界條件關(guān)于撓度也是線性的。因此，從數(shù)學(xué)上看為線性微分方程邊值（初值）問題，疊加原理成立

疊加原理：在若干載荷作用下，梁上任一截面的撓度、轉(zhuǎn)角等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度、轉(zhuǎn)角之和

剪力由支座承受，不會(huì)引起梁的彎曲

例：圖示的等截面外伸梁，ab段的抗彎剛度為ei1， bc段的抗彎剛度為ei2，在bc段有均布載荷q的作用，求截面c的轉(zhuǎn)角和撓度

對(duì)問題 i，由于梁ab段內(nèi)的剪力和彎矩為零，所以，ab段不發(fā)生變形

而 bc段相當(dāng)于懸臂梁，故問題 i 可等價(jià)于問題 i´  

利用懸臂梁的結(jié)論，可得梁截面c處的撓度w1c和轉(zhuǎn)角q1c分別為

對(duì)問題ii ，剪力 qa 由支座 b承受，不會(huì)引起梁的彎曲，僅有彎矩 qa2/2 的作用

由于梁bc不受力，僅考慮簡(jiǎn)支梁ab的彎曲變形，梁截面b處的轉(zhuǎn)角為qb為

利用連續(xù)條件，梁 bc 為直線，梁截面c處的撓度w2c和轉(zhuǎn)角q2c分別為

（注意疊加法求撓度時(shí)，這段連接處轉(zhuǎn)角乘上長(zhǎng)度便知端面撓度，但要取反值：畫圖便知）

因此，原問題截面c處的總撓度和轉(zhuǎn)角分別為

知識(shí)點(diǎn)四:簡(jiǎn)單超靜定梁(了解)

例：如圖所示的梁ab，其抗彎剛度為ei，試求梁的支座反力

解除固定端 a，b兩處的所有約束。此問題共有六個(gè)未知的約束反力。三次超靜定問題

利用對(duì)稱性，可知

利用對(duì)稱性，問題簡(jiǎn)化為一次超靜定，未知量為彎矩 ma ( = mb )

利用對(duì)稱性，可考慮原問題的一半，由對(duì)稱性知，梁中間截面 e 只存在彎矩 me

由梁的基本變形結(jié)論知，在載荷 f 單獨(dú)作用下，截面 e 處的轉(zhuǎn)角為

在彎矩 me單獨(dú)作用下，截面e處的轉(zhuǎn)角為

根據(jù)疊加原理，梁截面 e 處的轉(zhuǎn)角為（變形協(xié)調(diào)條件）

固定端 a 處的支反力偶為

利用反對(duì)稱性，求解如下梁的彎曲變形問題