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5.9應力狀態分析和強度理論

主要內容：斜截面上的應力；二向應力狀態的解析分析和應力圓。三向應力簡介。

知識點一:應力狀態概述(了解)

1．應力狀態

過構件上一點有無數的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態

2．單向拉伸時斜截面上的應力

橫截面上的正應力

斜截面上的應力

斜截面上的正應力和切應力為

可以得出

時

過a點取一個單元體，如果單元體的某個面上只有正應力，而無剪應力，則此平面稱為主平面。主平面上的正應力稱為主應力。

主單元體若單元體三個相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱為主單元體。三個主應力中有一個不為零，稱為單向應力狀態。三個主應力中有兩個不為零，稱為二向應力狀態。三個主應力中都不為零，稱為三向應力狀態。主單元體三個主平面上的主應力按代數值的大小排列，即為。

知識點二:平面應力解析法(掌握)

1.任意斜截面上的應力

在基本單元體上取任一截面位置，截面的法線。

在外法線和切線上列平衡方程

根據剪應力互等定理，，并考慮到下列三角關系

，

簡化兩個平衡方程，得

2．極值應力

將正應力公式對取導數，得

若時，能使導數，則

上式有兩個解：即和。在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，正應力取得極值。且絕對值小的角度所對應平面為最大正應力所在的平面，另一個是最小正應力所在的平面。求得最大或最小正應力為

代入剪力公式，為零。這就是說，正應力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應力就是最大或最小的正應力。

將切應力公式對求導，令

若時，能使導數，則在所確定的截面上，剪應力取得極值。通過求導可得

求得剪應力的最大值和最小值是：

與正應力的極值和所在兩個平面方位的對應關系相似，剪應力的極值與所在兩個平面方位的對應關系是：若，則絕對值較小的對應最大剪應力所在的平面。

3．主應力所在的平面與剪應力極值所在的平面之間的關系

與之間的關系為

這表明最大和最小剪應力所在的平面與主平面的夾角為。

知識點三：平面應力應力圓法（熟悉）

1．應力圓方程

將公式中的削掉，得

由上式確定的以和為變量的圓，這個圓稱作應力圓。圓心的橫坐標為，縱坐標為零，圓的半徑為。

2．應力圓的畫法

建立應力坐標系（注意選好比例尺）

在坐標系內畫出點和

與軸的交點c便是圓心

以c為圓心，以ad為半徑畫圓——應力圓。

3．單元體與應力圓的對應關系

1）圓上一點坐標等于微體一個截面應力值

2）圓上兩點所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍

3）對應夾角轉向相同

4．在應力圓上標出極值應力

知識點四：三向應力狀態（一般知識點）

1．三個主應力

2.三向應力圓的畫法

由作應力圓，決定了平行于平面上的應力

3．單元體正應力的極值為

，

最大的剪應力極值為

知識點五：廣義虎克定律（了解）

1．單拉下的應力—應變關系

，

2．復雜狀態下的應力— 應變關系

三向應力狀態等三個主應力，可看作是三組單向應力的組合。對于應變，可求出單向應力引起的應變，然后疊加可得

3．體積胡克定律

單元體變形后的體積為

體積改變為

其中為體積模量，是三個主應力的平均值。為體積胡克定律。

知識點六：強度理論（了解）

1. 最大拉應力理論（第一強度理論）

無論材料處于什么應力狀態,只要發生脆性斷裂,都是由于微元內的最大拉應力達到簡單拉伸時的破壞拉應力數值。

－構件危險點的最大拉應力

－極限拉應力，由單拉實驗測得

2. 最大伸長拉應變理論（第二強度理論）

無論材料處于什么應力狀態,只要發生脆性斷裂,都是由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數值。

－構件危險點的最大伸長線應變

－極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得

3. 最大切應力理論（第三強度理論）

無論材料處于什么應力狀態,只要發生屈服,都是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。

－構件危險點的最大切應力

－極限切應力，由單向拉伸實驗測得

4. 形狀改變比能理論（第四強度理論）

無論材料處于什么應力狀態,只要發生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。

－構件危險點的形狀改變比能

－形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得

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