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5.11壓桿穩定

知識點一： 壓桿穩定的概念（了解）

  在壓力作用下的粗短桿，當應力達到屈服極限或強度極限時，將發生塑性變形或斷裂。這種破壞是由于強度不足而引起的，只要壓桿滿足強度條件，就能保證安全工作。這個結論對粗短桿是正確的，但對于細長桿來說就不適用了。

例如，一根寬3cm，厚5mm，長30cm的矩形截面的木桿（圖15.1.1），設其許用應力[σ]＝40mpa，按壓縮強度條件計算，它的承載能力為kn。

   

例如，一根寬3cm，厚5mm，長30cm的矩形截面的木桿（圖15.1.1），設其許用應力[σ]＝40mpa，按壓縮強度條件計算，它的承載能力為kn。                                             實驗發現，當桿長為100cm，則只需要30n的壓力，桿就會變彎；壓力若再增大，桿將產生顯著的彎曲變形而失去工作能力。這說明細長壓桿喪失工作能力，是由于它不能保持原來的直線形狀而造成的。可見，細長壓桿的承載能力不取決于它的壓縮強度條件，而取決于它保持直線平衡狀態的能力。壓桿保持原有直線平衡狀態的能力，稱為壓桿的穩定性；反之，壓桿喪失直線平衡狀態而被破壞的現象，稱為喪失穩定或失穩。 　　工程中屬于壓桿穩定的例子很多，如：壓縮機、蒸氣機與內燃機中的連桿，螺旋千斤頂與車床中的走刀絲桿等。對這些壓桿，必須保證它們具有足夠的穩定性，否則會造成嚴重的事故。歷史上就曾因壓桿失穩而造成多次橋梁倒塌事故。因此研究壓桿的穩定性是非常必要的。

 

圖 壓桿穩定的工程實例

設圖ａ示細長壓桿在力ｐ的作用下處于直線平衡狀態，受外界（水平力ｑ）干擾后，桿經過若干次擺動，仍能回到原來的直線形狀平衡位置（圖ｂ），桿原來的直線形狀平衡狀態稱為穩定平衡。若受外界干擾后，桿不能恢復到原來的直線形狀而在彎曲形狀下保持新的平衡（ｃ），則桿原來的直線形狀的平衡狀態稱為非穩定平衡。壓桿的穩定性問題，就是對受壓桿件能否保持它原來的直線形狀的平衡狀態而言的。

細長壓桿的直線平衡狀態是否穩定，與軸向壓力ｐ的大小有關。隨著ｐ的逐漸增大，壓桿就會由穩定平衡狀態過渡到非穩定平衡狀態。這時，軸向壓力ｐ有個極限值，稱為臨界壓力，簡稱為臨界力，用符號ｐ_lj表示。實際上，臨界力就是使壓桿喪失穩定的最小軸向壓力，掌握臨界力的計算是解決壓桿穩定性的關鍵。

知識點二： 臨界力和臨界應力（掌握）

一、臨界力

當作用在桿上壓力ｐ＝ｐ_lj時，壓桿喪失穩定，由于干擾力的作用壓桿將變彎。在桿的變形不大，桿內應力不超過材料的比例極限時，根據彎曲變形理論可以求出桿的臨界力大小為

　　　　　　　　

上式稱為歐拉公式。μ--與支承情況有關的長度系數，其值它隨著壓桿的約束條件不同而不同； 式表明，壓桿的臨界力ｐ_lj與其抗彎剛度成正比，與桿長ｌ的平方成反比。也就是說，壓桿越細長，其臨界力越小，壓桿越容易失穩。又由于壓桿總是容易在抗彎能力最小的縱向平面內失穩，臨界力ｐ_lj與材質的種類、截面的形狀和尺寸、桿件的長度和兩端的支座情況等方面的因素有關。

二、臨界應力

 將臨界力ｐ_lj除以壓桿的橫截面面積ａ，則得到當壓力達到臨界值時壓桿橫截面上的應力，即臨界應力，用表示，即

      　　　　　　 　       　　　　　　

式中，若令，可見ｉ是一個與截面形狀、尺寸有關的長度，稱為截面的慣性半徑。代入上式得

　　　　　　　　　　　　　　　　

若令，則式（15-3）變為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 這就是計算壓桿臨界應力的公式。式中稱為壓桿的長細比，又稱為壓桿的柔度，它是一個無量綱的量。可以看出，柔度λ越大，桿件越細長，而其臨界應力越低；也就是說，壓桿越細長越容易失穩。反之，λ越小。則桿件就不太容易失穩，其臨界應力就比較大。所以柔度λ是壓桿穩定計算中的一個重要參數。

三、歐拉公式的應用范圍

因為歐拉公式是在材料服從虎克定律的條件下導出的，因此歐拉公式只能在壓桿的臨界應力σ_lj不超過材料的比例極限σ_p時才能應用。即

由此可求得對應于的柔度值λ_p為

　　　　　　　　　

例如，已知q235的彈性模量與比例極限分別為與，得                  　　　　　　    　　所以，用q235制成的桿件，只有其柔度時，才能應用歐拉公式。

四、經驗公式

當壓桿的柔度，也就是時，歐拉公式則不再適用，這時的臨界應力值可用經驗公式來確定。經驗公式有直線公式和拋物線公式等。其中直線公式比較簡單，應用方便，其形式為

式中，ａ、ｂ是與材料性質有關的常數，其單位為pa或mpa。表15-2給出了幾種材料的ａ、ｂ和λ_p值。

上式也有一個適用范圍。例如，對塑性材料制成的壓桿，要求其臨界應力不得超過材料的屈服極限σ_s，即

　　若把經驗公式中的最小柔度極限值表示為λ_s，則

 綜上所述，可以確定公式（15-6）適用的范圍應是。由式（15-7）可以求出各種材料的λ_s值。如q235，其mpa，mpa，mpa，將這些值代入式（15-7）中，得。一些常用材料的λ_s值也列于表15－2中。

一般將柔度介于λ_p和λ_s之間的壓桿稱為中柔度桿或中長桿。柔度小于λ_s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。

 根據以上分析，可將各類柔度壓桿臨界應力計算歸納如下：

 

 1、對于細長桿，用歐拉公式計算；

 2、對于中長桿，用經驗公式計算；

 3、對于短粗桿，用壓縮強度公式計算。

知識點三：壓桿的穩定性校核與提高壓桿穩定性措施（一般考點）

一、壓桿的穩定校核

為了保證壓桿正常工作，不發生失穩現象，必須使壓桿所承受的軸向壓力p小于壓桿的臨界壓力p_lj。為安全起見，還應使壓桿具有足夠的穩定性，即要考慮穩定的安全系數。因此，壓桿的穩定條件可表示為

式中  ｐ―壓桿的工作壓力；

         [s]―規定的穩定安全系數。

考慮到壓桿的初彎曲、壓力的偏心、材料的不均勻性和支座的缺陷等方面的因素，一般[s]規定得比強度安全系數要大。在靜載作用下，一般鋼類的[s]=1.8～3.0；鑄鐵的[s]=4.5～5.5；木材的[s]=2.5～3.5。

 在工程計算中，常把上式改寫成如下形式

                               

　　式中  s－壓桿的工作穩定安全系數。

在機械設計中，壓桿的穩定計算常常是根據構件的工作需要或其它方面的要求，初步決定壓桿的截面尺寸，然后再校核其穩定性。壓桿穩定校核的具體步驟是：

１．根據壓桿的支承情況和實際尺寸計算出各個彎曲平面內的柔度λ，從而得到最大柔度λ_max；

２．根據λ_max確定該壓桿的臨界應力σ_lj的計算公式，計算臨界應力和臨界力；

３．根據壓桿穩定條件校核壓桿的穩定性。

例15-3：如圖15.3.1是一鋼桿結構托架。已知ab為空心桿，外徑d₁=50mm，內徑d₂=40mm。在cd桿的d端掛一重物p=10kn。又知a=1500mm，b=500mm，α=30°。 ab桿是用q235制成，彈性模量e=200gpa，規定安全系數=3。cd桿的直徑d=70mm，許用應力[σ]=160mpa。試對各桿進行強度核算。

　　　　　

圖15.3.1

 

解：（１）取cd桿作研究對象，畫受力圖并求力ｎ。

        kn

（２）核算cd桿的強度  cd桿上的力ｎ，其垂直分力使cd桿產生彎曲，水平分力

使cb段產生拉伸，應力分別為

彎曲應力 

mpa

拉伸應力 

 mpa

總的拉應力 

 mpa<[σ]

強度足夠。

（３）核算ab桿的強度

①ab桿的受力如圖所示。但該桿是用抗壓強度核算還是檢驗其穩定性，應首先計算其柔度。

     mm

     m

ab桿兩端為鉸聯接，故取μ=1，則柔度為

    

因ab桿為細長桿，應用歐拉公式校核其穩定性。

②校核ab桿的穩定性

      kn

故ab桿穩定。

二、提高壓桿穩定性的措施

提高壓桿的穩定性，也就是要提高壓桿的臨界力和臨界應力。而影響臨界力的因素，主要有壓桿的材料性能、兩端的約束情況、長度和截面形狀、尺寸等，所以要想提高壓桿穩定性，可從以上方面入手。常用的方法有以下幾種。

１．合理選擇材料

由公式知，臨界力p_lj和臨界應力σ_lj與彈性模量ｅ成正比。選用ｅ值較大的材料，可以提高細長桿的臨界力。但由于各種鋼的ｅ值差別不大，用高強度鋼對p_lj的提高不顯著，所以細長壓桿用普通鋼制造，既經濟又合理。

對中長桿，由經驗公式可知，系數ａ是與材料有關的常數，所以中長桿的臨界應力σ_lj與材料強度有關。強度越高的材料，其臨界應力越高。因此對這類壓桿可用高強度鋼制造以提高穩定性。

２．減小柔度λ

對細長桿和中長桿，由公式可知，柔度越小，臨界應力越大，壓桿的穩定性越好。為了減小柔度，可采用以下措施：（１）減小壓桿長度。在結構允許的條件下，盡可能減小桿長，可明顯提高壓桿的臨界力，增加壓桿的穩定性。如結構不允許，也可在壓桿中間增加鉸支座來達到目的；（２）加強桿端約束的剛性，以減小μ值；（３）增大慣性半徑ｉ。對于在兩個縱向平面內桿端約束相同的壓桿，盡量采用圓環形或空心、正方形截面，使。對于在兩個縱向平面內桿端約束不同的壓桿，應使壓桿橫截面的慣性半徑，而使其柔度，從而達到在兩個方向上抵抗失穩能力相近的目的。