知識點三 向量
向量是特殊的矩陣，故向量的運算符合矩陣運算性質
向量的線性組合與線性表示
線性無關與線性相關
1)包含零向量的向量組必線性相關。
2)一個向量組中如果有部分向量線性相關，則整個向量組線性相關。
3)一個線性無關的向量組，其中任何部分向量組都線性無關。
4)一個線性相關的向量組，如呆每一個向量都刪去同一序號的分量，得到一個維數較低的向量組，則新的向量組也線性相關。
5)一個線性無關的向量組，如果每一個向量在同一位置增加分量，得到維數更高的向量組，則新向量組也線性無關。
定義：向量組的極大線性無關組中所含向量的個數稱為這個向量組的秩。
只含零向量的向量組的秩規定為0。
設a是m×n矩陣，將矩陣的每個行看作行向量，
矩陣的m個行向量構成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。
將矩陣的每個列看作列向量，矩陣的n個列向量構成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。
定理：矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的秩。
知識點四 線性方程組
1．線性方程組的概念
n元線性方程組
3．高斯消元法
解方程組的最基本的方法是高斯消元法。設n元線性方程組
所謂高斯消元法就是對線性方程組的增廣矩陣施行矩陣的初等行變換，化作行階梯形。
齊次線性方程組
(2)齊次線性方程組的解的性質與齊次線性方程組的解的結構
(2)非齊次線性方程組的解的性質與非齊次線性方程組的解的構造
知識點五 矩陣的特征值與特征向量
方陣的相似是矩陣之間的一種等價關系，他們有
1)反身性：每個方陣都和自己相似。
2)對稱性：若a和b相似，則b和a也相似。
3)傳遞性：若a和b相似，b和c相似，則a和c也相似。
相似的矩陣還有許多非常有用的性質，如相似矩陣有相同的秩，相同的特征多項式，相同的特征值，相同的跡，相同的行列式，等。
3．方陣的相似對角化
定理：n階矩陣a可與對角矩陣相似的充分必要條件是a有n個線性無關的特征向量。
定理：若n階矩陣a有n個互不相等的特征值，則a必可相似對角化。
4．實對稱矩陣的對角化
定理：實對稱矩陣的特征值一定是實數。
定理：實對稱矩陣對應不同特征值的特征向量正交。
定理：實對稱矩陣一定和對角矩陣相似。
實對稱矩陣的相似對角化有兩種形式。它既可以和對角矩陣相似，也可以和對角矩陣既相似同時還合同。就是說，對于實對稱矩陣a，總存在可逆矩陣p，使它和對角矩陣d相似：
或存在正交矩陣q，使它和對角矩陣 既相似又合同，
知識點六 二次型
3)矩陣表達式
2．矩陣的合同
合同有以下三個性質：
1)自反性：任意方陣a和自身合同。
2)對稱性：若方陣b和a合同，則a和b也合同。
3)專遞性：若方陣b和a合同，方陣c和b合同，則c和a合同。
合同作為n階方陣之間的關系，是一種等價關系。
3．二次型的標準形
定義：形如
的二次型稱為二次型的標準形。
化二次型為標準形的方法有正交變換法和配方法。其中正交變換法只能用于實二次型，不能用于復二次型。配方法可以用在實二次型，也可以用在復二次型。配方法實際上就是初等代數里的配平方。
用正交變換化實二次型為標準形的計算步驟：
1)寫出二次型的矩陣a 。
2)求得矩陣a的特征值
3)求相應的特征向量。
4)將特征向量作施密特正交化，得到正交的特征向量。
5)將正交的特征向量單位化。
4．實二次型的慣性定理
的二次型叫實二次型的規范形。
慣性定理：任意一個實系數二次型總可經過一個適當的可逆線性替換，化成規范形，規范形是惟一的。其中r是二次型的秩，p是二次型的正慣性指數，r -p是負慣性指數，2p-r是符號差。
在實二次型中，秩r和正慣性指數p是兩個重要的不變量。秩r表示二次型通過可逆線性替換化成標準形時非零平方項的個數，正慣性指數表示在這些非零平方項中正項的個數。二次型的標準形是不唯一的，但是標準形中非零項的個數以及其中正項的個數卻是唯一確定的。
5．實二次型的正定性
4)實對稱陣a正定 a的所有特征值全是正數
則稱i階行列式
為矩陣a的i階順序主子式。
5)實對稱陣a正定 a的各級順序主子式全大于零。
