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第二節  參數估計

知識點一：點估計與區間估計

參數估計是用樣本統計量去估計總體的參數。

比如，用樣本均值估計總體均值μ 、用樣本比例 p 估計總體比例π、用樣本方差 s² 及估計總體方差σ² 等等

用樣本統計量來估計總體參數有兩種方法：點估計和區間估計

一．點估計與區間估計

點估計，是用樣本統計量的實現值來近似相應的總體參數。

區間估計，是根據估計可靠程度的要求，利用隨機抽取的樣本的統計量確定能夠覆蓋總體參數的可能區間的一種估計方法。

區間估計是包括樣本統計量在內（有時是以統計量為中心）的一個區間，該區間通常是由樣本統計量加減估計標準誤差得到的。與點估計不同，進行區間估計時，根據樣本統計量的抽樣分布，可以對統計量與總體參數的接近程度給出一個概率度量。

標準正態分布為n（0，1）分布，將概率分布標準化的公式為：

將z所對應的概率稱為置信度或置信水平，將表示的范圍稱為置信區間。

幾個概率下的置信區間：

以68.73%的置信水平推斷總體參數推斷總體參數 的置信區間為（z=1）

以95.45%的置信水平推斷總體參數推斷總體參數 的置信區間為(z=2)

以99.73%的置信水平推斷總體參數推斷總體參數 的置信區間為(z=3)

還有一個95%的概率度為z=1.96

[例題·單選題]以68. 27%的置信水平推斷總體參數的置信區間為

答案：a

解析：68.27%的置信水平,其置信度為1，則置信區間為

知識點二：評價估計量的標準

用于估計總體參數的估計量可以有很多，如何選擇估計效果最好的那種估計量，評價估計量的好壞的標準具體有：

1.無偏性，是指估計量抽樣分布的期望值等于被估計的總體參數。

無偏估計量的定義。設總體參數為，所選擇的估計量為，如果e（）=，則稱 為 的無偏估計量。

分別是總體均值、總體比例、總體方差的無偏估計量。

2.有效性，是指估計量的方差盡可能小。

有效性是指估計量的方差盡可能小。對同一個總體參數的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。

3.一致性，是指隨著樣本量的增大，點估計量的值越來越接近被估計總體的參數。

即大樣本給出的估計量要比一個小樣本給出的估計量更接近總體的參數。從這個意義上說，樣本均值是總體均值的一個一致估計量。

[例題·多選題]評價估計量的標準為（    ）。

a．一致性             b．無偏性      c．顯著性   

d．有效性       e．綜合性

答案：abd

解析：評價估計量的標準為：一致性、無偏性、有效性。

[例題·多選題]樣本均值是總體均值的（  ）

a.無偏估計量         b.一致估計量       c.有偏估計量

d.無效估計           e.近似估計量

答案：ab

解析：從無偏性和一致性來看，樣本均值是總體均值的無偏估計量  、一致估計量。

知識點三：一個總體均值的區間估計

在對總體均值進行區間估計時，需要考慮總體是否為正態分布、總體方差是否已知，用于估計的樣本是大樣本（n≥30）還是小樣本（n<30）等幾種情況。但不管哪種情況，總體均值的置信區間都是由樣本均值加減估計誤差得到的。

一般將置信水平表示為1- a ，統計量分布兩側面積各為 a /2的分位數值，它取決于事先所要求的置信度（或可靠程度）。因此總體均值在1- a 置信水平下的置信區間可一般性地表達為：

（分位數值× 的標準誤差，+分位數值× 的標準誤差）

（一）大樣本的估計

大樣本（n  ≥30）情況下，由前述可知樣本均值服從期望值為 μ 、方差為 σ² /n 的正態分布。因此當總體方差 σ²    已知時，總體均值 μ  在1- a  置信水平下的置信區間為

式中：a    為事先確定的一個概率值，它是總體均值不包括在置信區間的概率 ； 1-a為置信水平；   z_α/2  為標準正態分布上兩側面積各為 a /2時的z值；為估計誤差。

大樣本情況下，當總體方差  σ² 未知時，上式中的  σ²     可以用樣本方差 s² 代替，總體均值  μ 在1-a置信水平下的置信區間為

[例題·單選題] 以95. 45%的置信水平推斷總體參數的置信區間為

答案：b

解析：95.45%的置信水平，其置信度為2，則置信區間為

（二）小樣本的估計

小樣本（n<30）情況下，對總體均值的估計都是建立在總體服從正態分布的假定前提下。

（1）當總體方差σ²   已知時，樣本均值經過標準化后仍服從標準正態分布，此時總體均值 在1-a置信水平下的置信區間仍為

（2）如果總體方差 σ² 未知時，樣本均值經過標準化后仍服從自由度為（n-1）的t分布，即。t分布也是對稱分布，只不過計算出來的t值對應的概率要查t分布概率表。總體均值 在1-a置信水平下的置信區間為

總體均值的置信區間是由樣本均值和估計誤差兩部分組成的。

[例題·單選題]小樣本情況下，總體服從正態分布，總體方差已知，總體均值在置信水平

 

答案：a

解析：小樣本（n<30）情況下，當總體方差 已知時，樣本均值經過標準化后仍服從標準正態分布，此時總體均值 在1-a置信水平下的置信區間仍為

[例題·單選題]小樣本情況下，總體服從正態分布，總體方差未知，總體均值在置信水平

答案：a

解析：小樣本情況下，如果總體方差 未知時，總體均值在置信水平（1-a）下的置信區間為

知識點四：一個總體比例的區間估計

實際應用時，經常需要估計總體中具有某種屬性或特征的單位數占總體單位數的比例。這時，我們就要用樣本比例p估計總體比例π

在大樣本條件下，根據中心極限定理，若np≥5，n(1-p) ≥5，則二項分布可用正態分布近似，即

標準化后服從標準正態分布，即

在大樣本（n  ≥30）情況下，當總體比例π 已知時，在1-a 置信水平下，總體比例的置信區間為

在大樣本（n  ≥30）情況下，當總體比例 未知時，需用樣本比率p代替，即

總體比例的置信區間是由樣本比例和估計誤差兩部分組成的。

[例題·判斷題]當np≥5,并且n(1-p) ≥5時,就可以認為樣本容量足夠大，樣本比例近似服從正態分布。

答案：正確

解析：在大樣本條件下，根據中心極限定理，若np≥5，n(1-p) ≥5，則二項分布可用正態分布近似。