第三節(jié) 資金等效值與復利計算

一、資金等效值的概念

資金等效值是指在考慮時間因素的情況下，不同時點發(fā)生的絕對值不等的資金可能具有相同的價值。即：與某一時間點上一定金額的實際經(jīng)濟價值相等的另一時間點上的價值。

我們把等效值簡稱為等值。通常情況下，在資金等效值計算的過程中，人們把資金運動起點時的金額稱為現(xiàn)值，把資金運動結(jié)束時與現(xiàn)值等值的金額稱為終值或未來值，而把資金運動過程中某一時間點上與現(xiàn)值等值的金額稱為時值。

二、復利計算

㈠符號

在復利計算和考慮資金時間因素的計算中，常用的符號包括P、F、A、G、s、n和i等，各符號的具體含義是：

P— 現(xiàn)值; F— 終值(未來值);

A— 連續(xù)出現(xiàn)在各計息周期期末的等額支付金額，簡稱年值;

G— 每一時間間隔收入或支出的等差變化值;

s— 每一時間間隔收入或支出的等比變化值;

n— 計息周期數(shù); i— 每個計息周期的利率。

在復利計算和考慮資金時間因素計算中，通常都要使用i和n，以及P、F和A中的兩項。比較不同投資方案經(jīng)濟效果時，常換算成P值或A值，也可換算成F值來進行比較。

㈡公式與系數(shù)

主要方法：提煉法、梳理法、形象理解記憶法、數(shù)字概況記憶法

主要內(nèi)容：①六種基本換算②四種遞變換算③計算公式的五個前提條件④三種常見題型分析⑤五步解題思路與方法

1、六種基本換算(2+3+6+6)三個值-兩個因素-六種換算關系-六個系數(shù)

三個值：P：現(xiàn)值(資金運動起點時的金額)

F：終值(資金運動結(jié)束時與現(xiàn)值等值的金額)

A：年值(連續(xù)出現(xiàn)在各計息周期期末的等額支付金額)

兩個因素：利率i 計息期n

六種基本換算：1、現(xiàn)值換算為終值：P～F 2、終值換算為現(xiàn)值：F～P

3、年值換算為終值：A～F 4、終值換算為年值：F～A

5、年值換算為現(xiàn)值：A～P 6、現(xiàn)值換算為年值：P～A

1.一次支付的終值系數(shù)

如果在時間點t=0時的資金現(xiàn)值為P，并且利率i已定，則復利計息的n個計息周期后的終值F計算公式為： F=P(1+i)n

上式中的(1+i)n稱為“一次支付終值系數(shù)”。

計算公式為： F=P(1+i)n 終值公式：F=P( F / P，i，n )

形象記憶：【存款】一次存錢，到期本利和合計多少

系數(shù)名稱：一次支付終值系數(shù)(F / P，i，n)

【典型例題】某房地產(chǎn)開發(fā)商向金融機構貸款500萬元，按復利計息，年利率為12%。若第五年末一次還本付息，應償還多少萬元?

2.一次支付的現(xiàn)值系數(shù)

當已知終值 F 和利率 i 時，很容易得到復利計息條件下現(xiàn)值P的計算公式：

P=F[1/ (1+i)n] P=F( P / F，i，n )

上式中的1/ (1+i)n 稱為“一次支付現(xiàn)值系數(shù)”

計算公式：

P=F( P / F，i，n )

形象記憶：【存款】已知到期本利和數(shù)，求最初本金。

系數(shù)名稱：一次支付現(xiàn)值系數(shù) (P / F，i，n)

【典型例題】將一筆資金按年利率為6%存入銀行，以復利計息，要在五年后本利和為100萬元，則現(xiàn)在應存款多少元?

3. 等額序列支付的現(xiàn)值系數(shù)

等額序列支付是指在現(xiàn)金流量圖上的每一個計息周期期末都有一個等額支付金額A。此時，其現(xiàn)值可以這樣確定：把每一個A看作是一次支付中的F，用一次支付復利計算公式求其現(xiàn)值，然后相加，即可得到所求的現(xiàn)值。P=A ( P / A，i，n )

式中的

稱為“等額序列支付現(xiàn)值系數(shù)”。

形象記憶：【存款、養(yǎng)老保險】已知最后要取出一筆錢，年應等額存入多少錢。

系數(shù)名稱：等額序列支付現(xiàn)值系數(shù)( P / A，i，n )

【特例】永續(xù)年值(n-∞)

P=A/i

【典型例題】某家庭欲購買總價為25萬元的一套住宅。該家庭月收入為6000元，準備用收入的30%來支付抵押貸款月還款額。已知貸款期限為10年，年貸款利率為6%，則該家庭的首付款額是( )元? A.3400.00 B.83265.38 C.87867.78 D.91022.12

4.等額序列支付資金回收系數(shù)

由上式可以得到當現(xiàn)值P和利率i為已知時，求復利計息的等額序列支付年值A的計算公式：

稱為“等額序列支付資金回收系數(shù)”。

■系數(shù)名稱

○等額序列支付資金回收系數(shù)(A/P,I,n)

5.等額序列支付終值系數(shù)

等額序列支付的終值系數(shù)和儲存基金系數(shù)就是在已知F的情況下求A，或在已知A的情況下求F。因為前面已經(jīng)有了P和A之間的關系，我們也已經(jīng)知道了P和F之間的關系，所以很容易就可以推導出F和A之間的關系。計算公式：

形象記憶：【等額零存整取】年青時定期期等額支付養(yǎng)老金，到一定年齡一次性取出，問一次性可取多少錢。

系數(shù)名稱：等額序列支付終值系數(shù)(F/A,i,n)

【典型例題】若每年年末存入銀行10萬元，年利率為6%，則五年后的復本利和為多少元?

6.等額序列支付儲存基金系數(shù)

計算公式：形象記憶：【存款、養(yǎng)老保險】已知最后要取出一筆錢，年應等額存入多少錢。

系數(shù)名稱：等額序列支付儲存基金系數(shù)(A/F,i,n)

【典型例題】計劃每年年末存入銀行等額數(shù)額的資金(等額零存)，欲在7年后整取為1000元，若存款利率為8%，則每年年末存入金額為多少元?

7.等差序列的現(xiàn)值系數(shù)

等差序列是一種等額增加或減少的現(xiàn)金流量序列。這種現(xiàn)金流量序列的收入或支出每年以相同的數(shù)量發(fā)生變化。例如物業(yè)維修費用往往隨著房屋及其附屬設備的陳舊程度而逐年增加，物業(yè)租金收入通常隨著房地產(chǎn)市場的發(fā)展逐年增加等。逐年增加的收入或費用，雖然不能嚴格地按線性規(guī)律變化，但可根據(jù)多年資料，整理成等差序列以簡化計算。

如果G表示收入或支出的年等差變化值，第一年的現(xiàn)金收入或支出的流量A1已知，則第 n 年年末現(xiàn)金收入或支出的流量為 A1+(n-1)G 。計算等差序列現(xiàn)值系數(shù)的公式為：

上式中的稱為“等差序列現(xiàn)值系數(shù)”。

8.等差序列年費用系數(shù)A=A1 +G(A/G，i，n)

若要將等差現(xiàn)金流量序列換算成等額年值A，則公式為：

上式中的

稱為“等差序列年費用系數(shù)”。

9.等比序列的現(xiàn)值系數(shù)

等比序列是一種等比例增加或減少的現(xiàn)金流量序列。即這種現(xiàn)金流量序列的收入或支出每年以一個固定的比例發(fā)生變化。例如建筑物的建造成本每年以l0%的比例逐年增加、房地產(chǎn)的價格或租金水平每年以5%的速度逐年增加等。

若以等比系數(shù)表示收入或支出每年變化的百分率，第一年的現(xiàn)金收入或支出的流量A1已知，則第n年年末現(xiàn)金收入或支出的流量為A1(1+s)n-1，

計算等比序列現(xiàn)值系數(shù)的公式為：

上式中的稱為“等比序列現(xiàn)值系數(shù)”。

10. 等比序列年費用系數(shù)(A/s，i，n)

若要將等比現(xiàn)金流量序列換算成等額年值A，則公式為：

A=s (A/s，i，n) 上式中的稱為“等比序列年費用系數(shù)”。

㈢復利系數(shù)的標準表示法

為了減少書寫上述復利系數(shù)時的麻煩，可采用一種標準表示法來表示各種系數(shù)。這種標準表示法的一般形式為(X/Y，i，n)。X表示所求的是什么，Y表示已知的是什么。例如F/P表示“已知P求F”，而(F/P，10%，25)表示一個系數(shù)。這個系數(shù)若與現(xiàn)值P相乘，便可求得按年利率為10%復利計息時25年后的終值F。

三、復利系數(shù)的應用

復利系數(shù)在房地產(chǎn)投資分析與評估中的應用非常普遍，尤其是在房地產(chǎn)抵押貸款、房地產(chǎn)開發(fā)項目融資活動中，經(jīng)常涉及到利息計算、月還款額計算等問題。下面通過例題，來介紹一下復利系數(shù)在房地產(chǎn)投資分析中的應用情況。

【例5-1】已知某筆貸款的年利率為15%，借貸雙方約定按季度計息，問該筆貸款的實際利率是多少?

【解】已知：r=15%，m=12/3=4，則該筆貸款的實際利率

i=(1+r/m)m-1=(1+15%/4)4-1=15.87%

【解析】本題考查：名義利率與實際利率的關系。

【例5-2】某房地產(chǎn)開發(fā)商向銀行貸款2 000萬元，期限為3年，年利率為8%，若該筆貸款的還款方式為期間按季度付息、到期后一次償還本金，則開發(fā)商為該筆貸款支付的利息總額是多少? 如果計算先期支付利息的時間價值，則貸款到期后開發(fā)商實際支付的利息又是多少?

【解】已知：P=2000萬元，n=3×4=12，i=8%/4=2%，則

開發(fā)商為該筆貸款支付的利息總額=P×i×n=2 000×2%×12=480 (萬元)

計算先期支付利息的時間價值，則到期后開發(fā)商實際支付的利息=P[(1+i)n-1]=2000[(1+2%)12-1]=536.48(萬元)

【解析】此題考查單利與復利關系，關鍵是要掌握單利與復利的概念，分清兩者的區(qū)別與聯(lián)系。

【例5-3】某家庭預計在今后10年內(nèi)的月收入為16 000元，如果其中的30% 可用于支付住房抵押貸款的月還款額，年貸款利率為12% ，問該家庭有償還能力的最大抵押貸款申請額是多少?

【解】(1)已知：該家庭每月可用于支付抵押貸款的月還款額A=16000×30%=0.48(萬元);月貸款利率i=12%/12=1%，計息周期數(shù)n=10×12=120個月;

(2)則該家庭有償還能力的最大抵押貸款額【例5-4】某家庭以抵押貸款的方式購買了一套價值為25萬元的住宅，如果該家庭首付款為房價的30%，其余房款用抵押貸款支付。如果抵押貸款的期限為10年，按月等額償還，年貸款利率為15%，問月還款額為多少? 如果該家庭25%的收入可以用來支付抵押貸款月還款額，問該家庭須月收入多少，才能購買上述住宅?

【解】(1)已知：抵押貸款額P=25×70%=17.5(萬元)，月貸款利率I=15%/12=1.25%，計息周期數(shù)n=10×12=120個月

(2)則月還款額：(3)該家庭欲購買上述住宅，其月收入須為2823.4/0.25=11293.4(元)

【例5-5】某購房者擬向銀行申請60萬元的住房抵押貸款，銀行根據(jù)購房者未來收入增長的情況，為他安排了等比遞增還款抵押貸款。若年抵押貸款利率為6 .6%，期限為15年，購房者的月還款額增長率為0.5%，問該購房者第10年最后一個月份的月還款額是多少?

【解】(1)已知：P=60萬元，n=15×12=180(月)，i=6.6%/12=0.55%，s=0.5%

(2)抵押貸款首次月還款額：

(3)第10年最后一個月份的還款額A120為

A120=A1×(1+s)t-1=3504.67×(1+0.5%)120-1=6344.50 (元)

【例5-6】某家庭預購買一套面積為80m2的經(jīng)濟適用住宅，單價為3500元/m2，首付款為房價的25%，其余申請公積金和商業(yè)組合抵押貸款。巳知公積金和商業(yè)貸款的利率分別為4.2%和6.6%，期限均為15年，公積金貸款的最高限額為10萬元。問該家庭申請組合抵押貸款后的最低月還款額是多少?

【解】(1)已知：P=3500×80×(1-25%)=21(萬元)，n=15×12=180(月)

i1=4.2%/12=0.35%，i2=6.6%/12=0.55%

P1=10(萬元)，P2=P-P1=21-10=11(萬元)

(2)計算等額償還公積金貸款和商業(yè)貸款的月還款額：

(3)組合貸款的最低月還款額 A=A1+A2=749.75+964.28=1714.03(元)

【例5-7】某家庭以4000元/平方米的價格，購買了一套建筑面積為120平方米的住宅，銀行為其提供了15年期的住房抵押貸款，該貸款的年利率為6%，抵押貸款價值比率為70%。如該家庭在按月等額還款5年后，于第6年初一次提前償還了貸款本金8萬元，問從第6年開始的抵押貸款月還款額是多少?

【解】(1)已知：P=4000×120×70%=33.6(萬元)，P1 =8(萬元)，n=15×12=180月

n1= (15-5)×12=120個月;i=i1 =6%/12=0.5%

(2)則正常情況下抵押貸款的月還款額：

(3)第6年年初一次性償還本金8萬元后，在第6到15年內(nèi)內(nèi)減少的月還款額為：

(3)從第6年開始的抵押貸款月還款額是： A-A1=2835.36-888.16=1947.20(元)

【例5-8】某家庭以3500元/m2的價格，購買了一套建筑面積為80m2的住宅，銀行為其提供了15年期的住房抵押貸款，該貸款的年利率為6%，抵押貸款價值比率為70%;月等額還款金額占借款總額的比例即月還款常數(shù)為0.65%。問抵押貸款到期后，該家庭應向銀行償還的剩余本金金額是多少?

【解】(1)已知：P=3500×80×70%=19.6(萬元)，月還款常數(shù)α=0.65%

n=15×12=180(月)，i= i1=6%/12=0.5%

(2)則月等額償還抵押貸款本息的月還款額為：

(3)實際每月的月還額為： 196000×0.65%=1274 (元)

(4)借款人每月欠還的本金： 1653.96-1274=379.96 (元)

(5)抵押貸款到期后，該家庭向銀行償還的剩余本金為：

【例5-9】某人擬以500萬元的價格購入一預售樓盤的部分寫字樓面積用于出租經(jīng)營。已知前三年樓價款付款比例分別為15%、25%和60%，第四年即可開始出租，當年的毛租金收入為100 萬元，經(jīng)營成本為20萬元，且預計在此后的16年內(nèi)毛租金收入和經(jīng)營成本的平均上漲卒均為12%，貼現(xiàn)率為16%。如果本寫字樓投資項目在整個經(jīng)營期間內(nèi)的其他收入和支出情況如下表所示，試計算該投資項目的凈現(xiàn)金流量，畫出凈現(xiàn)金流量圖并計算出項目凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值之和(設投資和經(jīng)營期間的收支均發(fā)生在年初)。P145

【解】(1)求出現(xiàn)金流量。(略)

(2)畫出凈現(xiàn)金流量圖。(略)P153

(3)計算項目凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值之和P

【例5-10】已知某家庭1998年12月31日為購買價值為50萬元的住宅，申請了相當于房價80%的住房抵押貸款，期限為20年、年利率為6%、按月等額還本付息。2004年1月1日，該家庭由于某種財務需要擬申請二次住房抵押貸款(又稱“加按”，假設按產(chǎn)權人擁有的權益價值的50%發(fā)放)。已知當?shù)刈≌瑑r值年上漲率為 5%，問該家庭申請加按時，最多能得到多少抵押貸款?

【解】⑴2004年1月1日該住房市場價值

V=500000×(1+5%)5=638140.8 元

⑵第一次抵押貸款月還款額

2004年1月1日未償還第一抵押貸款價值

⑷該家庭擁有的住房權益價值

VE=V-VM=638140.8-297147.6=340993.2 元

⑸第二次抵押可獲得的最大抵押貸款數(shù)額為

340993.2×50%=170496.6元≈17萬元

【例5-11】假設某家庭于2004年為購買總價為22萬美元的住房，成功申請了總額為18萬美元、期限為30年、前3年固定利率為7.5%的復合式可調(diào)整利率貸款。如該家庭2004年和2007年的月家庭收入分別為3000美元和3200美元，2007年調(diào)整后的利率為9%，問該家庭在2004年和2007年前6個月的月還款額占家庭收入的比例分別是多少?

【解】⑴前3年執(zhí)行固定利率期間的月還款額: A=P×i=180 000×7.5%/12=1125(美元)

⑵前3年執(zhí)行固定利率期間的月還款額占家庭收入的比例: 1125/3000×100%=37.5%

⑶2007年初調(diào)整利率后: i1=9%/12=0.75% n1=(30-3)×12=324(月)

⑷2007年初調(diào)整利率后的月還款額

⑸2007年初調(diào)整利率后的月還款額占家庭收入的比例:1481.2/3200×100%=46.3%

【例5-12】某家庭擬購買一套新房，并將原有住房出租。預計原有住房的凈租金收入為每月2000元，資本化率為9.6%，假設租金和住房市場價值不隨時間發(fā)生變化。該家庭希望實現(xiàn)以租養(yǎng)房，即每月的抵押貸款還款額不超過原有住房的租金收入。購買新房的最低首付款為房價的30%，余款申請年利率為6%的住房抵押貸款，按月等額還款，最長貸款年限為20年。問：

⑴該家庭能夠購買最高總價為多少萬元的新房(精確到小數(shù)點后2位)?

⑵設該家庭購買了這一最高總價的新房，并希望在還款一段時間之后，利用出售原有住房的收入一次性提前還清抵押貸款，問至少需要在還款多少個月(取整)后，再出售原有住房并還清貸款?(8分)

【解】已知：A=2000元，n=240個月，i=6%/12=0.5%，R=9.6%

⑴求購房最高總價

購房最高總價=P/70%=279161.54/70%=39.88萬元

⑵求出售原有住房時間

住房市場價值V=A×12/R=2000×12/9.6%=25萬元

設剩余M個月需要償還25萬元，則有

有：(1+0.5%)M=2.667　M=log2.667/(1+0.5%)=196.66個月 240-196=44個月

在還款44個月之后出售住房

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