第一章       函數、極限和連續

§1.1  函數

一、                主要內容

㈠ 函數的概念

 1. 函數的定義:   y=f(x),   x∈D

定義域: D(f),     值域: Z(f).

2.分段函數:

3.隱函數:   F(x,y)= 0

4.反函數:   y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)

            y=f-1 (x)

定理:如果函數: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

     是嚴格單調增加(或減少)的；

     則它必定存在反函數：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是嚴格單調增加(或減少)的。   

㈡ 函數的幾何特性

1.函數的單調性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

  當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),

則稱f(x)在D內單調增加(  )；

若f(x1)≥f(x2),

則稱f(x)在D內單調減少(  )；

    若f(x1)＜f(x2),

則稱f(x)在D內嚴格單調增加(  )；

若f(x1)＞f(x2),

則稱f(x)在D內嚴格單調減少(  )。

 

 2.函數的奇偶性：D(f)關于原點對稱

   偶函數：f(-x)=f(x)

   奇函數：f(-x)=-f(x)

 

 3.函數的周期性：

   周期函數：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)

   周期：T——最小的正數

 4.函數的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)

 

㈢ 基本初等函數

1.常數函數： y=c ，  (c為常數)

2.冪函數：   y=xn ,   (n為實數)

3.指數函數： y=ax , (a＞0、a≠1)

4.對數函數： y=loga x ,(a＞0、a≠1)

5.三角函數： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函數：y=arcsin x, y=arccon x

              y=arctan x, y=arccot x

㈣ 復合函數和初等函數

1.復合函數： y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] ,  x∈X

 

2.初等函數:

  由基本初等函數經過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構成的，并且能用一個數學式子表示的函數

（責任編輯：何以笙簫默）