第二章 牛頓定律

　　一、主要內容

　　本章內容包括力的概念及其計算方法，重力、彈力、摩擦力的概念及其計算，牛頓運動定律，物體的平衡，失重和超重等概念和規律。其中重點內容重力、彈力和摩擦力在牛頓第二定律中的應用，這其中要求學生要能夠建立起正確的“運動和力的關系”。因此，深刻理解牛頓第一定律，則是本章中運用牛頓第二定律解決具體的物理問題的基礎。

　　二、基本方法

　　本章中所涉及到的基本方法有：力的分解與合成的平行四邊形法則，這是所有矢量進行加、減法運算過程的通用法則;運用牛頓第二定律解決具體實際問題時，常需要將某一個物體從眾多其他物體中隔離出來進行受力分析的“隔離法”，隔離法是分析物體受力情況的基礎，而對物體的受力情況進行分析又是應用牛頓第二定律的基礎。因此，這種從復雜的對象中隔離出某一孤立的物體進行研究的方法，在本章中便顯得十分重要。

　　三、錯解分析

　　在本章知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現在：對物體受力情況不能進行正確的分析，其原因通常出現在對彈力和摩擦力的分析與計算方面，特別是對摩擦力(尤其是對靜摩擦力)的分析;對運動和力的關系不能準確地把握，如在運用牛頓第二定律和運動學公式解決問題時，常表現出用矢量公式計算時出現正、負號的錯誤，其本質原因就是對運動和力的關系沒能正確掌握，誤以為物體受到什么方向的合外力，則物體就向那個方向運動。

　　例1 甲、乙兩人手拉手玩拔河游戲，結果甲勝乙敗，那么甲乙兩人誰受拉力大?

　　「錯解」因為甲勝乙，所以甲對乙的拉力比乙對甲的拉力大。就像拔河一樣，甲方勝一定是甲方對乙方的拉力大。

　　「錯解原因」產生上述錯解原因是學生憑主觀想像，而不是按物理規律分析問題。按照物理規律我們知道物體的運動狀態不是由哪一個力決定的而是由合外力決定的。甲勝乙是因為甲受合外力對甲作用的結果。甲、乙兩人之間的拉力根據牛頓第三定律是相互作用力，甲、乙二人拉力一樣大。

　　「分析解答」甲、乙兩人相互之間的拉力是相互作用力，根據牛頓第三定律，大小相等，方向相反，作用在甲、乙兩人身上。

　　「評析」生活中有一些感覺不總是正確的，不能把生活中的經驗，感覺當成規律來用，要運用物理規律來解決問題。

　　例2 如圖2-1所示，一木塊放在水平桌面上，在水平方向上共受三個力，F1，F2和摩擦力，處于靜止狀態。其中F1=10N，F2=2N.若撤去力F1則木塊在水平方向受到的合外力為( )

　　A.10N向左 B.6N向右 C.2N向左 D.0

　　「錯解」木塊在三個力作用下保持靜止。當撤去F1后，另外兩個力的合力與撤去力大小相等，方向相反。故A正確。

　　「錯解原因」造成上述錯解的原因是不加分析生搬硬套運用“物體在幾個力作用下處于平衡狀態，如果某時刻去掉一個力，則其他幾個力的合力大小等于去掉這個力的大小，方向與這個力的方向相反”的結論的結果。實際上這個規律成立要有一個前提條件，就是去掉其中一個力，而其他力不變。本題中去掉F1后，由于摩擦力發生變化，所以結論不成立。

　　「分析解答」由于木塊原來處于靜止狀態，所以所受摩擦力為靜摩擦力。依據牛二定律有F1-F2-f=0此時靜摩擦力為8N方向向左。撤去F1后，木塊水平方向受到向左2N的力，有向左的運動趨勢，由于F2小于最大靜摩擦力，所以所受摩擦力仍為靜摩擦力。此時—F2+f′=0即合力為零。故D選項正確。

　　「評析」摩擦力問題主要應用在分析物體運動趨勢和相對運動的情況，所謂運動趨勢，一般被解釋為物體要動還未動這樣的狀態。沒動是因為有靜摩擦力存在，阻礙相對運動產生，使物體間的相對運動表現為一種趨勢。由此可以確定運動趨勢的方向的方法是假設靜摩擦力不存在，判斷物體沿哪個方向產生相對運動，該相對運動方向就是運動趨勢的方向。如果去掉靜摩擦力無相對運動，也就無相對運動趨勢，靜摩擦力就不存在。

　　例3 如圖2-2所示水平放置的粗糙的長木板上放置一個物體m，當用于緩慢抬起一端時，木板受到的壓力和摩擦力將怎樣變化?

　　「錯解」以木板上的物體為研究對象。物體受重力、摩擦力、支持力。因為物體靜止，則根據牛頓第二定律有

　　錯解一：據式②知道θ增加，f增加。

　　錯解二：另有錯解認為據式②知θ增加，N減小則f=μN說明f減少。

　　「錯解原因」錯解一和錯解二都沒能把木板緩慢抬起的全過程認識透。只抓住一個側面，缺乏對物理情景的分析。若能從木塊相對木板靜止入手，分析出再抬高會相對滑動，就會避免錯解一的錯誤。若想到f=μN是滑動摩擦力的判據，就應考慮滑動之前怎樣，也就會避免錯解二。

　　「分析解答」以物體為研究對象，如圖2-3物體受重力、摩擦力、支持力。物體在緩慢抬起過程中先靜止后滑動。靜止時可以依據錯解一中的解法，可知θ增加，靜摩擦力增加。當物體在斜面上滑動時，可以同錯解二中的方法，據f=μN，分析N的變化，知f滑的變化。θ增加，滑動摩擦力減小。在整個緩慢抬起過程中y方向的方程關系不變。依據錯解中式②知壓力一直減小。所以抬起木板的過程中，摩擦力的變化是先增加后減小。壓力一直減小。

　　「評析」物理問題中有一些變化過程，不是單調變化的。在平衡問題中可算是一類問題，這類問題應抓住研究變量與不變量的關系。可從受力分析入手，列平衡方程找關系，也可以利用圖解，用矢量三角形法則解決問題。如此題物體在未滑動時，處于平衡狀態，加速度為零。所受三個力圍成一閉合三角形。如圖2-4.類似問題如圖2-5用繩將球掛在光滑的墻面上，繩子變短時，繩的拉力和球對墻的壓力將如何變化。從對應的矢量三角形圖2-6不難看出，當繩子變短時，θ角增大，N增大，T變大。圖2-7在AC繩上懸掛一重物G，在AC繩的中部O點系一繩BO，以水平力F牽動繩BO，保持AO方向不變，使BO繩沿虛線所示方向緩緩向上移動。在這過程中，力F和AO繩上的拉力變化情況怎樣?用矢量三角形(如圖2-8)可以看出T變小，F先變小后變大。這類題的特點是三個共點力平衡，通常其中一個力大小、方向均不變，另一個力方向不變，大小變，第三個力大小、方向均改變。還有時是一個力大小、方向不變，另一個力大小不變，方向變，第三個力大小、方向都改變。

　　例4 如圖2-9物體靜止在斜面上，現用水平外力F推物體，在外力F由零逐漸增加的過程中，物體始終保持靜止，物體所受摩擦力怎樣變化?

　　「錯解」錯解一：以斜面上的物體為研究對象，物體受力如圖2-10，物體受重力mg，推力F，支持力N，靜摩擦力f，由于推力F水平向右，所以物體有向上運動的趨勢，摩擦力f的方向沿斜面向下。根據牛頓第二定律列方程

　　f+mgsinθ=Fcosθ ①

　　N-Fsinθ-mgcosθ=0 ②

　　由式①可知，F增加f也增加。所以在變化過程中摩擦力是增加的。

　　錯解二：有一些同學認為摩擦力的方向沿斜面向上，則有F增加摩擦力減少。

　　「錯解原因」上述錯解的原因是對靜摩擦力認識不清，因此不能分析出在外力變化過程中摩擦力的變化。

　　「分析解答」本題的關鍵在確定摩擦力方向。由于外力的變化物體在斜面上的運動趨勢有所變化，如圖2-10，當外力較小時(Fcosθmgsinθ)物體有向上的運動趨勢，摩擦力的方向沿斜面向下，外力增加，摩擦力增加。當Fcosθ=mgsinθ時，摩擦力為零。所以在外力由零逐漸增加的過程中，摩擦力的變化是先減小后增加。

　　「評析」若斜面上物體沿斜面下滑，質量為m，物體與斜面間的摩擦因數為μ，我們可以考慮兩個問題鞏固前面的分析方法。

　　(1) F為怎樣的值時，物體會保持靜止。

　　(2)F為怎樣的值時，物體從靜止開始沿斜面以加速度a運動。

　　受前面問題的啟發，我們可以想到F的值應是一個范圍。

　　首先以物體為研究對象，當F較小時，如圖2-10物體受重力mg、支持力N、斜向上的摩擦力f和F.物體剛好靜止時，應是F的邊界值，此時的摩擦力為最大靜摩擦力，可近似看成f靜=μN(最大靜摩擦力)如圖建立坐標，據牛頓第二定律列方程

　　當F從此值開始增加時，靜摩擦力方向開始仍然斜向上，但大小減小，當F增加到FCOSθ=mgsinθ時，即F=mg.tgθ時，F再增加，摩擦力方向改為斜向下，仍可以根據受力分析圖2-11列出方程

　　隨著F增加，靜摩擦力增加，F最大值對應斜向下的最大靜摩擦力。

　　要使物體靜止F的值應為

　　關于第二個問題提醒讀者注意題中并未提出以加速度a向上還是向下運動，應考慮兩解，此處不詳解此，給出答案供參考。

　　例5 如圖2-12，m和M保持相對靜止，一起沿傾角為θ的光滑斜面下滑，則M和m間的摩擦力大小是多少?

　　「錯解」以m為研究對象，如圖2-13物體受重力mg、支持力N、摩擦力f，如圖建立坐標有

　　再以m+N為研究對象分析受力，如圖2-14，(m+M)g.sinθ=(M+m)a③

　　據式①，②，③解得f=0

　　所以m與M間無摩擦力。

　　「錯解原因」造成錯解主要是沒有好的解題習慣，只是盲目的模仿，似乎解題步驟不少，但思維沒有跟上。要分析摩擦力就要找接觸面，摩擦力方向一定與接觸面相切，這一步是堵住錯誤的起點。犯以上錯誤的客觀原因是思維定勢，一見斜面摩擦力就沿斜面方向。歸結還是對物理過程分析不清。

　　「分析解答」因為m和M保持相對靜止，所以可以將(m+M)整體視為研究對象。受力，如圖2-14，受重力(M十m)g、支持力N′如圖建立坐標，根據牛頓第二定律列方程

　　x：(M+n)gsinθ=(M+m)a ①

　　解得a=gsinθ

　　沿斜面向下。因為要求m和M間的相互作用力，再以m為研究對象，受力如圖2-15.

　　根據牛頓第二定律列方程

　　因為m，M的加速度是沿斜面方向。需將其分解為水平方向和豎直方向如圖2-16.

　　由式②，③，④，⑤解得f=mgsinθ。cosθ

　　方向沿水平方向m受向左的摩擦力，M受向右的摩擦力。

　　「評析」 此題可以視為連接件問題。連接件問題對在解題過程中選取研究對象很重要。有時以整體為研究對象，有時以單個物體為研究對象。整體作為研究對象可以將不知道的相互作用力去掉，單個物體作研究對象主要解決相互作用力。單個物體的選取應以它接觸的物體最少為最好。如m只和M接觸，而M和m還和斜面接觸。

　　另外需指出的是，在應用牛頓第二定律解題時，有時需要分解力，有時需要分解加速度，具體情況分析，不要形成只分解力的認識。

　　例6 如圖2-17物體A疊放在物體B上，B置于光滑水平面上。A，B質量分別為mA=6kg，mB=2kg，A，B之間的動摩擦因數μ=0.2，開始時F=10N，此后逐漸增加，在增大到45N的過程中，則

　　[ ]

　　A.當拉力F<12N時，兩物體均保持靜止狀態

　　B.兩物體開始沒有相對運動，當拉力超過12N時，開始相對滑動

　　C.兩物體間從受力開始就有相對運動

　　D.兩物體間始終沒有相對運動

　　「錯解」 因為靜摩擦力的最大值近似等于滑動摩擦力。fmax=μN=0.2×6=12(N)。所以當F>12N時，A物體就相對B物體運動。F<12N時，A相對B不運動。所以A，B選項正確。

　　「錯解分析」 產生上述錯誤的原因一致是對A選項的理解不正確，A中說兩物體均保持靜止狀態，是以地為參考物，顯然當有力F作用在A物體上，A，B兩物體對地來說是運動的。二是受物體在地面上運動情況的影響，而實際中物體在不固定物體上運動的情況是不同的。

　　「分析解答」 首先以A，B整體為研究對象。受力如圖2-18，在水平方向只受拉力F，根據牛頓第二定律列方程

　　F=(mA+mB)a ①

　　再以B為研究對象，如圖2-19，B水平方向受摩擦力

　　f=mBa ②

　　代入式①F=(6+2)×6=48N

　　由此可以看出當F<48N時A，B間的摩擦力都達不到最大靜摩擦力，也就是說，A，B間不會發生相對運動。所以D選項正確。

　　「評析」 物理解題中必須非常嚴密，一點的疏忽都會導致錯誤。避免錯誤發生的最好方法就是按規范解題。每一步都要有依據。

　　例7 如圖2-20，用繩AC和 BC吊起一重物，繩與豎直方向夾角分別為30°和60°，AC繩能承受的最大的拉力為150N，而BC繩能承受的最大的拉力為100N，求物體最大重力不能超過多少?

　　「錯解」以重物為研究對象，重物受力如圖2-21.由于重物靜止，則有

　　TACsin30°=TBCsin60°

　　TACcos30°+TBCcos60°=G

　　將TAC=150N，TBC=100N代入式解得G=200N.

　　「錯解原因」以上錯解的原因是學生錯誤地認為當TAC=150N時，TBC=100N，而沒有認真分析力之間的關系。實際當TBC=100N時，TBC已經超過150N.

　　「分析解答」以重物為研究對象。重物受力如圖2-21，重物靜止，加速度為零。據牛頓第二定律列方程

　　TACsin30°-TBCsin60°=0 ①

　　TACcos30°+TBCcos60°-G=0 ②

　　而當TAC=150N時，TBC=86.6<100N

　　將TAC=150N，TBC=86.6N代入式②解得G=173.32N.

　　所以重物的最大重力不能超過173.2N.

　　例8 如圖2-22質量為M，傾角為α的楔形物A放在水平地面上。質量為m的B物體從楔形物的光滑斜面上由靜止釋放，在B物體加速下滑過程中，A物體保持靜止。地面受到的壓力多大?

　　「錯解」以A，B整體為研究對象。受力如圖2-23，因為A物體靜止，所以N=G=(M+m)g.

　　「錯解原因」由于A，B的加速度不同，所以不能將二者視為同一物體。忽視了這一點就會造成錯解。

　　「分析解答」分別以A，B物體為研究對象。A，B物體受力分別如圖2-24a，2-24b.根據牛頓第二定律列運動方程，A物體靜止，加速度為零。

　　x：Nlsinα-f=0 ①

　　y：N-Mg-Nlcosα=0 ②

　　B物體下滑的加速度為a，

　　x：mgsinα=ma ③

　　y：Nl-mgcosα=0 ④

　　由式①，②，③，④解得N=Mg+mgcosα

　　根據牛頓第三定律地面受到的壓力為Mg十mgcosα。

　　「評析」 在解決物體運動問題時，在選取研究對象時，若要將幾個物體視為一個整體做為研究對象，應該注意這幾個物體必須有相同的加速度。

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