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三、數據特征的測度（分布的集中趨勢、分布的離散程度、分布的偏態和峰度）

（一） 集中趨勢的測度

集中趨勢的測度，主要包括：位置平均數（眾數、中位數）和數值平均數（算術平均數、幾何平均數）

1. 眾數：一組數據中出現次數最多的變量值；它是一個位置代表值，特點是不受數據中極端值的影響，抗干擾性強。

2. 中位數：是一組數據按一定順序排序后，處于中間位置上的數值。

中位數位置=（N+1）/2

當數值個數為奇數時，取中間位置的數；當數值個數為偶數時，取中間位置兩個數的均值。

它將全部數據等分成兩部分，也是一個位置代表值，其特點是不受極端值的影響

3. 算術平均數：也稱均值，是全部數據的算術平均。它是集中趨勢的最主要測度值。

（1） 簡單算術平均數：等于所有數值相加之和 / 數值個數

（2） 加權算術平均數：（各組組中值*各組頻數） / 頻數之和

均值是一組數據的重心所在，是數據誤差相互抵消后的必然結果，反映出事物必然性的數量特征。其缺點是容易受極端值的影響。

4. 幾何平均數：將一組中n個數據連乘后再開n次方。是適用于特殊數據的一種平均數，主要用于計算比率或速度的平均。實踐中，主要用于計算社會經濟現象的平均發展速度

（二） 離散程度的測度

1.極差：總體或分布中最大的標志值與最小的標志值之差，又稱全距。

R=Xmax-Xmin

反映的是分布的變異范圍或離散幅度，計算簡單，運用方便，缺點是不能反映其間的變量分布情況，同時易受極端值的影響。

2.標準差和方差

標準差：各變量與其均值離差平方和的平均數的平方根。

方差就是標準差的平方。

例：一組5個數據， 1、2、3、4、5，求其標準差。

解：先求均值等于（1+2+3+4+5）/ 5 =3；

再求離差，分別為：（1-3）=-2，（2-3）=-1，（3-3）=0，（4-3）=1，（5-3）=2.

離差平方，分別為：4，1，0，1，4.離差平方和等于4+1+0+1+4=10

離差平方和的平均數：10/5=2，所以方差為2

把2開平方，即得標準差。

標準差和方差是應用最廣泛的統計離散程度的測度方法。

極差、標準差和方差都是反映數據分散程度的絕對值，離散系數是測量數據離散程度的相對指標。

3. 離散系數：通常就標準差來計算，也稱標準差系數。一組數據的標準差與其相應的算術平均數之比，是測度數據離散程度的相對指標，其作用主要是用于比較不同組別數據的離散程度。

上例中，離散系數等于2的平方根除以3.

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