第二十四章 數據特征在測度

一、集中趨勢的測度

集中趨勢是指一組數據向某一中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢也就是尋找數據一般水平的代表值或中心值。集中趨勢的測度，主要包括位置平均數和數值平均數。位置平均數是指按數據的大小順序或出現頻數的多少，確定的集中趨勢的代表值，主要有眾數、中位數等;數值平均數是指根據全部數據計算出來的平均數，主要有算術平均數、幾何平均數等。

(一)眾數

眾數是一組數據中出現頻數最多的那個數值，用M₀表示。例如，一家連鎖超市的10個分店某月的銷售額(單位：萬元)分別為：

61 65 73 78 80 80 80 80 96 97

這l0個分店月銷售額的眾數為M₀=80(萬元)

用眾數反映集中趨勢，非常直觀，不僅適用手品質數據，也適用于數值型數據。眾數是一個位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強。所謂極端值就是明顯比其他數據大得多或小得多的數值。

(二)中位數

把一組數據按從小到大的順序進行排列，位置居中的數值叫做中位數，用M_e表示。中位數將數據分成兩部分，其中一半的數據小于中位數，另一半數據大于中位數。這里只簡單介紹一下根據未分組數據計算中位數的方法。

根據未分組數據計算中位數時，要先對數據進行排序，然后確定中位數的位置，其公式為：

中位數位置= (n+1)/2

式中，n為數據的個數。最后確定中位數的具體數值。

設一組數據為X₁，X₂，…，X_n，按從小到大順序為X₍₁₎，X₍₂₎，…，X_(n)，則中位數為：

例如，某地級市下轄9個縣，每個縣的面積如下(單位：平方千米)，計算該市下轄縣面積的中位數：

1455 2019  912 1016 1352 1031 2128 1075 2000

首先，將上面的數據排序結果如下：

912 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

中位數位置=(9+1)÷2=5，中位數為1352，即M_e =1352(平方千米)

在上例中，由于行政區劃調整，臨市的一個面積為1000平方千米的縣劃歸該市。行政區劃調整后，該市現在下轄10個縣，該市下轄縣的面積(單位：平方千米)從小到大依次為：

912 1000 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

計算行政區劃調整后該市下轄縣面積的中位數：

中位數位置=(10+1) ÷2=5.5，中位數為1213.5，即

M_e= (1075+1352)÷2=1213.5(平方千米)

中位數主要用于順序數據，也適用于數值型數據，但不適用于分類數據。中位數也是一個位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強。

(三)算術平均數

算術平均數是全部數據的算術平均，又稱均值，用 表示。算術平均數是集中趨勢最主要的測度值，在統計學中具有重要的地位，是進行統計分析和統計推斷的基礎。它主要適用于數值型數據，但不適用于品質數據。根據數據表述形式的不同，算術平均數有不同的計算形式和計算公式。

1.簡單算術平均數。簡單算術平均數主要用于處理未分組的原始數據。設一組數據為X₁，X₂，…，X_n，簡單算術平均數的計算公式為：

例如，某售貨小組有5名營業員，元旦一天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元和500元，求該日平均銷售額。

計算結果表明，元旦5名營業員的平均銷售額為570元。

2.加權算術平均數。加權算術平均數主要用于處理經分組整理的數據。設原始數據被分成k組，各組的組中值為X₁，X₂，…，X_n，各組的頻數分別為f₁，f₂，…，f_k，加權算術平均數的計算公式為：

例如，某市商業企業協會根據100個會員樣本，整理出一年銷售額分布資料：

計算年平均銷售額。

首先確定組中值，計算結果在表24—1中列出。代入公式得：

計算結果表明，100個商業企業的年均銷售額為240萬元。

計算和運用算術平均數需注意：第一，算術平均數同時受到兩個因素的影響，一個是各組數值的大小，另一個是各組分布頻數的多少。在數值不變的情況下，哪一組的頻數多，該組的數值對平均數的作用就大，反之哪一組的頻數少，該組數值對平均數的影響就小。頻數在加權算術平均數中起著權衡輕重的作用，這也是加權算術平均數“加權”一詞的來歷。第二，算術平均數易受極端值的影響。比如有下列資料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部資料的平均數是7.1，實際上大部分數據(有10個)不超過7，如果去掉20，則剩下12個數的平均數為6。由此可見，極端值的出現，會使平均數的真實性受到干擾。

(四)幾何平均數

n個觀察值連乘積的n次方根就是幾何平均數。根據資料的條件不同，幾何平均數也有加權和不加權之分。這里只介紹簡單幾何平均數的計算。

設一組數據為X₁，X₂，…，X_n，且大于0， g表示幾何平均數，則：

式中，Ⅱ為連乘積符號。

例如，某型號鉆頭的生產，需經過6道不同的加工工序，各道工序的合格率如表24—2所示，計算平均合格率。

用幾何平均數的方法進行計算，得：

各道工序的平均合格率為96.63%。

計算幾何平均數要求各觀察值之間存在連乘積關系，它的主要用途是：①對比率、指數等進行平均;②計算平均發展速度。

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