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第九講 參數估計——點估計
一、考試要求
1.熟悉點估計的概念
2.掌握矩法估計方法
3.熟悉點估計優良性的標準
4.熟悉二項分布、泊松分布、指數分布、正態分布參數的點估計
二、 內容講解
參數估計
根據樣本對總體進行推斷是數理統計的核心，參數估計與假設檢驗是統計推斷的兩個基本內容。本節著重討論參數估計問題。
這里所說的參數主要是指如下幾類：
①分布中的未知參數，如二項分布b(n，p)中的p，正態分布 中的 ， 或 。
②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征數。
③其他未知參數，如某事件的概率P(A)等。
上述未知參數都需要根據樣本和參數的統計含義選擇適宜的統計量并作出估計，這一統計推斷過程通稱為參數估計。未知參數通常用 表示。
參數估計有兩種基本形式：點估計與區間估計。
一、點估計
(一) 點估計的概念
設 是總體的一個未知參數，記與總體對應的隨機變量為X，從中抽取樣本量為n的一個樣本 。根據這個樣本，構造一個統計量 ，用 來對 進行估計，稱 為 的點估計量。對一個具體的樣本 ，可計算 的一個具體的數值，稱為 的估計值。在本教材中，除討論統計量的分布及性質外，不嚴格區分估計量及具體估計值，通稱為估計。
(二)點估計優良性標準
點估計量 是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個隨機變量。評價一個估計量 的優劣不能從一個具體樣本獲得的估計值來評判，應該從多次使用中來評定。
對于一個特定的樣本，估計值 與 的真值之間總是有偏差的，但由于 未知，因此偏差 也未知。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本， 不同的具體估計值，對實際偏差 進行“平均”。當然這種平均不能直接進行，因為 有正有負，直接平均由于正負抵消反而不能反映誤差。與以前對方差處理的方法相仿，用估計偏差的平方 來代替，并對其求均值，于是用 來表示估計量 的優劣。這個量稱為 的均方誤差，簡記為MSE( )，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。雖然由于 是未知的，MSE( )也并不是總能求得的。但是經過簡單的推導，總有
MSE( )= 。 (交叉乘積項為零)
(三) 求點估計的方法-一矩法估計
參數估計時，一個直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計，用樣本方差作為總體方差的估計等。由于均值與方差在統計學中統稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法可用如下兩句話概括：
(1)用樣本矩去估計相應的總體矩。
(2)用樣本矩的函數去估計相應總體矩的函數。
此種獲得未知參數的點估計的方法稱為矩法估計。
矩法估計簡單而實用，所獲得的估計量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質。例如對任何總體，樣本均值 對總體均值 的估計總是無偏的，樣本方差 對總體方差 的估計也總是無偏的。但是應該注意到矩法估計不一定總是最有效的，而且有時估計也不惟一。
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（責任編輯：中大編輯）
