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1.熟悉區間估計 (包括置信水平、且信區間)的概念

2.熟悉正態總體均值、方差和標準差的置信區間的求法

3.了解比率p的置信區間 (大樣本場合)的求法

內容講解

參數估計(續)

區間估計

(一) 區間估計的概念

點估計僅僅給出參數一個具體的估計值，但是沒有給出估計的精度，而區間估計是用一個區間來對未知參數進行估計，區間估計體現了估計的精度。

設 是總體的一個待估參數，其一切可能取值組成的參數空間為 ，記從總體中獲得樣本量為n的樣本為 ，對給定的 ，確定兩個統計量：

與若對任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，則稱隨機區間[ ， ]是 的置信水平為l- 的置信區間，簡稱[ ， ]是 的l- 的置信區間， 與 分別稱為 的l- 的置信下限與置信上限。

置信區間的含義是：所構造的隨機區間 覆蓋(蓋住)未知參數 的概率為 。由于這個隨機區間隨樣本觀測值的不同而不同，它有時覆蓋了參數 ，有時沒有覆蓋 ，但是用這種方法做區間估計時，100次中大約有100( )個區間能覆蓋未知參數 。圖1.4-1中每一條豎線表示由一個樣本量為4的樣本按給定的 與 求得的一個區間。重復抽取100個樣本，就得到100個這樣的區間，在( )中，100個區間有51個包含(覆蓋了)參數真值=50000，這對50%的置信區間來說是一個合理的偏離;在( )中，100個區間有90個包含參數真值=50000，這與90%的置信區間一致。

如果P( < )=P( > )= /2，則稱這種置信區間為等尾置信區間。

下面著重討論正態總體參數的置信區間及比例p的置信區間，它們都是等尾置信區間。

(二)正態總體參數的置信區間

設總體分布為 ，從中抽取的樣本記為 ，樣本均值為 ，樣本方差為 ,樣本標準差為s。

(1)總體均值 的置信區間的求法： 的估計一般用樣本均值 ，從 的分布來構造置信區間。

當總體標準差 已知時，利用正態分布可得的置信區間為：

今后也記為 ，其中 是標準正態分布的 分位數。

當總體標準差 未知時， 用其估計s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信區間為：

其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位數。

(2)總體方差 與標準差 的置信區間的求法： 的估計常用樣本方差 ，因此從 的分布來構造置信區間。

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（責任編輯：中大編輯）

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