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用古典方法求概率,經常需要用到排列與組合的公式?,F簡要介紹如下:
排列與組合是兩類計數公式,它們的獲得都基于如下兩條計數原理。
(1)乘法原理:如果做某件事需經k步才能完成,其中做第一步有m1種方法,做第二步m2種方法,…,做第k步有mk種方法,那么完成這件事共有m1×m2×…×mk種方法。
例如,甲城到乙城有3條旅游線路,由乙城到丙城有2條旅游線路,那么從甲城經乙城去丙城共有3×2=6條旅游線路。
(2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成,其中在第一類方法中又有m1種完成方法,在第二類方法中又有m2種完成方法,…,在第k類方法中又有mk種完成方法,那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。
例如,由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機,而汽車有5個班次,火車有3個班次,飛機有2個班次,那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇。
(3)排列與組合的定義及其計算公式如下:
①排列:從n個不同元素中任取個元素排成一列稱為一個排列。按乘法原理,此種排列共有n×(n-1) ×…×(n-r+1)個,記為。若r=n,稱為全排列,全排列數共有n!個,記為Pn,即:
= n×(n-1) ×…×(n-r+1), Pn= n!
②重復排列:從n個不同元素中每次取出一個作記錄后放回,再取下一個,如此連續取r次所得的排列稱為重復排列。按乘法原理,此種重復排列共有個。注意,這里的r允許大于n。
例如,從10個產品中每次取一個做檢驗,放回后再取下一個,如此連續抽取4次,所得重復排列數為。假如上述抽取不允許放回,則所得排列數為10×9×8×7=5040。
③組合:從n個不同元素中任取個元素并成一組(不考慮他們之間的排列順序)稱為一個組合,此種組合數為:
規定0!=1,因而。另外,在組合中,r個元素”一個接一個取出”與”同時取出”是等同的。大的美女編輯們
例如,從10個產品中任取4個做檢驗,所有可能取法是從10個中任取4個的組合數,則不同取法的種數為:
這是因為取出的任意一組中的4個產品的全排列有4!=24種。而這24種排列在組合中只算一種。所以。
注意:排列與組合都是計算 “從n個不同元素中任取r個元素”的取法總數公式,他們的主要差別在于:如果講究取出元素間的次序,則用排列公式;如果不講究取出元素間的次序,則用組合公式。至于是否講究次序,應從具體問題背景加以辨別。
[例1.1-5] 一批產品共有N個,其中不合格品有M個,現從中隨機取出n個,
問:事件Am= “恰好有m個不合格品”的概率是多少?
從N個產品中隨機抽取n個共有個不同的樣本點,它們組成這個問題的樣本空間。
其中“隨機抽取”必導致這個樣本點是等可能的。以后對“隨機抽取”一詞都可以作同樣理解。下面我們先計算事件A0、A1的概率,然后計算一般事件Am的概率。
事件A0=“恰好有0個不合格品”=“全是合格品”,要使取出的n個產品全是合格品,那么必須從該批中N-M個合格品中抽取,這有種取法。故事件A0的概率為:
事件A1=“恰好有1個不合格品”,要使取出的n個產品只有一個不合格品,其他n-1個是合格品,可分二步來實現。第一步從M個不合格品中隨機取出1個,共有種取法;第二步從N-M個合格品中隨機取出n-1個,共有種取法。依據乘法原則,事件A1共含有個樣本點。故事件A1的概率為:
最后,事件Am發生,必須從M個不合格品中隨機抽取m個,而從N-M個合格品中隨機抽取n-m個,依據乘法原則,事件Am共含有個樣本點,故事件Am的概率是:大
其中r=min(n,M)為n, M中的較小的一個數,它是m的最大取值,這是因為m既不可能超過取出的產品數n,也不可能超過不合格品總數M,因此。
假如N=10.M=2和n=4,下面來計算諸事件Am的概率
而A3,A4等都是不可能事件,因為10個產品中只有2個不合格品,而要從中抽出3個或4個不合格品是不可能的,因而P(A3)=P(A4)=0 。
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(責任編輯:中大編輯)