2016高考數學專項練習:導數的綜合應用

一、選擇題

1.設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(-3,0)(3，+∞)　　B.(-3,0)(0,3)

C.(-∞，-3)(3，+∞) D.(-∞，-3)(0,3)

答案：D　解題思路：因為f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以h(x)=f(x)g(x)為奇函數，當x<0時，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，所以h(x)在(-∞，0)為單調增函數，h(-3)=-h(3)=0，所以當x<0時，h(x)<0=h(-3)，解得x<-3，當x<0時，h(x)>0，解得-30時h(x)<0的x的取值范圍為(0,3)，故選D.

2.若f(x)=x2-2x-4ln x，不等式f′(x)>0的解集記為p，關于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集記為q，且p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是(　　)

A.(-2，-1] B.[-2，-1]

C. D.[-2，+∞)

答案：D　解題思路：對于命題p： f(x)=x2-2x-4ln x， f′(x)=2x-2-=，

由f′(x)>0，得 x>2.由p是q的充分不必要條件知，命題p的解集(2，+∞)是命題q不等式解集的子集，對于命題q：x2+(a-1)x-a>0(x+a)(x-1)>0，當a≥-1時，解集為(-∞，-a)(1，+∞)，顯然符合題意;當a<-1時，解集為(-∞，1)(-a，+∞)，則由題意得-2≤a<-1.綜上，實數a的取值范圍是[-2，+∞)，故選D.

3.已知定義在R上的函數f(x)，g(x)滿足=ax，且f′(x)g(x)

A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4

答案：B　解題思路：由f′(x)g(x)

4.(河南適應測試)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x(-∞，0]時，f(x)=e-x-ex2+a，則函數f(x)在x=1處的切線方程為(　　)

A.x+y=0 B.ex-y+1-e=0

C.ex+y-1-e=0 D.x-y=0

答案：B　命題立意：本題考查了函數的奇偶性及函數的導數的應用，難度中等.

解題思路： 函數f(x)是R上的奇函數，

f(x)=-f(-x)，且f(0)=1+a=0，得a=-1，設x>0，則-x<0，則f(x)=-f(-x)=-(ex-ex2-1)=-ex+ex2+1，且f(1)=1，求導可得f′(x)=-ex+2ex，則f′(1)=e，

f(x)在x=1處的切線方程y-1=e(x-1)，即得ex-y+1-e=0，故應選B.

易錯點撥：要注意函數中的隱含條件的挖掘，特別是一些變量的值及函數圖象上的特殊點，避免出現遺漏性錯誤.

5.設二次函數f(x)=ax2-4bx+c，對x∈R，恒有f(x)≥0，其導數滿足f′(0)<0，則的最大值為(　　)

A. B. C.0 D.1

答案：C　解題思路：本題考查基本不等式的應用.因為f(x)≥0恒成立，所以a>0且Δ=16b2-4ac≤0.又因為f′(x)=2ax-4b，而f′(0)<0，所以b>0，則==2-，又因4a+c≥2≥8b，所以≥2，故≤2-2=0，當且僅當4a=c，ac=4b2，即當a=b，c=4b時，取到最大值，其值為0.

技巧點撥：在運用均值不等式解決問題時，一定要注意“一正二定三等”，特別是要注意等號成立的條件是否滿足.

6.已知函數f′(x)，g′(x)分別是二次函數f(x)和三次函數g(x)的導函數，它們在同一坐標系下的圖象如圖所示，設函數h(x)=f(x)-g(x)，則(　　)

A.h(1)

B.h(1)

C.h(0)

D.h(0)

答案：D　解題思路：本題考查函數及導函數的圖象.取特殊值，令f(x)=x2，g(x)=x3，則h(0)

二、填空題

7.對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，給出定義：設f′(x)是函數y=f(x)的導數，f″(x)是f′(x)的導數，若方程f″(x)=0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”;任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.根據這一發現，則函數f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為________.

答案：　解題思路：由f(x)=x3-x2+3x-，得f′(x)=x2-x+3，f″(x)=2x-1，由f″(x)=0，解得x=，且f=1，所以此函數的對稱中心為.

8.設函數f(x)=(x+1)ln(x+1).若對所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，則實數a的取值范圍為________.

答案：(-∞，1]　解題思路：令g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax，對函數g(x)求導數g′(x)=ln(1+x)+1-a，令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.

當a≤1時，對所有x≥0，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函數.

又g(0)=0，所以對x≥0，有g(x)≥0，

即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f(x)≥ax.

當a>1時，對于0

又g(0)=0，所以對0

所以，當a>1時，不是對所有的x≥0都有f(x)≥ax成立.

綜上，a的取值范圍為(-∞，1].

（責任編輯：gx）

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